利用函数wavread对语音信号进行采样_统计与自适应信号处理知识点总结-期末考试...

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信号包括：确定性信号和随机信号。

确定性信号，可以清楚的用数学关系描述的信号。也就是说可以用过去的观察来预测未来值。

随机信号，以不可预见的方式实时产生，他们的统计特性可以假定为确定的，他们可以用明确的数学方程式表示。

●随信号的统计方面基本知识和处理方法进行介绍。

●随机信号的应用：信号建模，最佳滤波器，自适应滤波器及其算法。

●简要介绍高阶统计。

随机信号的描述：矩，积累量，多谱

平稳随机信号的前四阶矩：

前两阶矩指均值和自相关序列，三阶矩表示倾斜率，表明随机变量与其中心分布的不对称程度。四阶矩度量峰度，表示出平均值附近密度函数的相对平坦程度或峰值程度，表明了偏离高斯过程的偏移量。

零均值平稳过程的前四个积累量：

复数：

实数：

通常更为关心的是积累量，积累量也表明了与高斯过程的偏移量，（若概率分布对称，则三阶积累量为零）如果为高斯过程，则大于等于3阶的积累量为零。实际中一般考虑到四阶积累量，更高阶的很少用到。

多谱是由积累量进行傅立叶变换得到的。（功率谱密度，双频谱，三频谱分别对应二阶，三阶，四阶积累量）。

（双频谱）

（三频谱）

随机信号包括高斯信号和非高斯信号。

高斯过程统计特性完全由二阶矩决定（相关性和功率谱密度），

非高斯过程不具有这种性质，需要高阶统计特性，这些高阶统计特性包含一些额外信息：可以量度与正态性的偏差。

对信号分析的目的：提取用于理解信号产生过程的信息。所用的方法：谱估计和信号建模。

信号滤波的目的：依照容许的性能标准改善信号质量（主要包括频率选择性滤波、自适应滤波和阵列处理等）。

典型应用包括：噪声和干扰消除、回波消除、信道均衡、地震波解卷积、主动噪声控制等。

对于高斯型随机信号，谱密度的应用比自相关更广泛。

自相关是在时域中从噪声中提取有用信号，功率谱是在频域中从噪声中提取有用信号。

确定性信号分类：能量信号域或功率信号、周期信号和非周期信号，有限和无限持续时间信号，因果（x(n=0,n<0时）和非因果信号以及奇或偶信号。

信号分析目的：找到一种定量的方法，以研究信号的性质以及相同或不同源的两个或多个信号之间的差别与共同点。

随机信号分析的主要应用领域：（1）信号振幅（即采样值）的统计分析，（2）单个信号的采样之间相关性的分析和建模，（3）联合信号分析（如，同时分析两个信号，研究他们之间的相互作用和相互关系）。

信号分析的最主要工具是谱估计。谱估计是从一组观测中估计信号的能量和功率分布的一系列方法的统称。

对信号进行表达：信号建模：含参数模型，采取一个完全由有限个参数确定的函数形式。非参数模型，不用对函数的形式或模型参数的数量加以任何限制

自适应滤波器的目的是估计系统的参数或状态。

第二章：离散时间信号处理基础

对信号描述：时域--------频域（傅立叶变换）---------z变换（极点---零点模型）。

连续时间信号------------离散时间信号（采样，采样频率至少是带宽的两倍（可以恢复出原来的连续信号））。

离散时间系统的表示形式：时域分析：

冲激响应

变换域分析：

频响函数

用线性、常系数差分方程描述的系统：

Z平面内的零点极点位置的描述

涉及到的概念： 相关性（提供两个信号的相似性）和谱密度：可以将输出信号的特性与系统

和输入信号的响应特征联系起来。

最小相位系统和可逆系统，全通系统（幅值响应=1）。

最小相位系统：一个系统和它的逆系统都是因果的，稳定的，也就是说PZ系统的极点零点

都在单位圆内。格型参数的模小于1.

系统稳定性：有限输入产生有限输出。

对于一个因果系统，所有极点都在单位圆内，就是稳定的。

在单位圆上没有极点零点的任何因果系统都能分解：

（最小相位系统和全通系统）

谱因式分解：可以从幅度响应或冲激响应的自相关确定最小相位系统。

其中

格型滤波器：格型参数和全极点滤波器系数一一对应。（用处？？）

AZ格型结构和AP格型结构互为倒数。

第三章：随机变量、矢量和序列

主要介绍一些概念：

随机变量

的特征函数：

矩的生成函数：

即

代替

泰勒展开：

若x的所有矩已知，则可以通过拉普拉斯反变换确定密度函数。

积累量：矩的生成函数的自然对数的各阶导数。

常用随机变量：均匀分布，正态分布（由均值和方差进行描述），柯西分布。

随机矢量的实际描述一般用统计平均量：平均矢量，矩阵的相关性和协方差。

自相关：

自协方差：

独立与相关性、正交。独立

不相关， 不相关

独立。

相关系数：

，

， =1时，完全相似；=0时，不相关

独立：

两个随机变量的相关系数，表明两个随机变量之间的统计相似程度。

两个随机矢量相关性、协方差和正交性。

稳定分布：分布经卷积运算（求和）保持不变。

序列

：

固定，

变化，随机变量；

变化，

固定，样本序列，

，

均变化，随机过程。

随机信号的一些特性：平稳性，各态遍历性，记忆性。

平稳性：如果一个随机过程

，则是平稳的。

各态遍历：从全体可能实现的集合中取一个具有代表性的实现来获得全部的统计信息。

平均值，方差等由时间平均来计算统计平均。

只有平稳信号才是各态遍历的。

●具有平稳随机输入的线性系统：（用二阶统计特性进行表征）

时域分析， 输入输出实现：

输入输出互相关：

输出自相关：

频域分析，

记忆性，指数衰减，短时记忆，双曲衰减，长时记忆（有限方差的平稳过程）。

●平稳过程的相关矩阵是厄米特和托普利兹的：

厄米特

托普利兹：所有与主对角线平行的对角线上的元素都相等。

对相关矩阵进行特征值-特征矢量分解，从而

LDU分解为因果滤波，UDL分解为非因果滤波。

平稳随机信号模型都与自相关矩阵有关（后面介绍的滤波器通过自相关矩阵求解）。

功率谱的平坦度与特征值的关系：特征值范围越大，越陡峭。（条件指数

）

估计量的性质（评估标准）：偏，方差，均方差，一致性，置信区间。

第四章 线性信号模型

平稳随机序列：白噪声激励一个线性时不变系统产生---------极点-零点模型（PZ模型）

两个问题：（1）根据系统的系数，导出AP，AZ或PZ模型的二阶矩；（2）设计能生成具有给定自相关序列或PSD函数的随机信号的AP，AZ或PZ系统，即信号建模。

无参数信号模型：当线性时不变（LTI）滤波器由它的冲激响应指定时，因为关于模型的形式没有任何限制，且参数个数可以是无限的，所以就有一个无参数信号模型。

有参模型：通过一个有限阶有理系统函数指定一个系统，由有限个参数描述有参数信号模型。

●线性无参数信号模型：（冲激响应为

）

如果均值为零的白噪声方差为

，则自相关函数

，PSD为

。

输出自相关，复数PSD和PSD为

可见，当输入为白噪声时，输出信号的自相关函数和功率谱的形状特征完全由系统决定。

当输入为白噪声时，产生输出信号x(n，成为有色滤波器，逆系统可恢复输入，成为白化滤波器。

● 有参极点-零点信号模型（PZ（P , Q））

系统函数

P=0， 全零点模型(AZ；移动平均模型MA

Q=0, 全极点模型(AP；自递归模型AR（最常用）

,极点-零点模型（PZ），自递归移动平均模型ARMA。

指数衰减，短期记忆。衰减速率由最靠近单位圆的极点控制，衰减速率随着极点向单位圆靠近而减小，由最靠近单位圆的极点决定，所有极点都在单位圆内时，系统才是稳定的。

AP模型可以表示为

任何有限阶全极点模型可以被无限多零点等同表示，任何有限阶全零点模型可以被无限多极点等同表示。

●全极点模型参数的确定：

根据冲激响应确定

根据自相关确定

由p+1个方程求

和

这p+1个参数，其中系数矩阵为厄米特和托普利兹的。

一个最小相位系统的描述：（1）直接结构：

（2）格型结构：

（3）自相关：

自回归模型：白噪声激励的因果全极点模型，式

中用白激励的方差

代替

.。

●全零点模型：

系统函数：

冲激响应：

自相关：

模型参数的求解为非线性，较复杂。

滑动平均模型：白噪声激励

=1的AZ模型

●极点-零点模型，

参数也可以通过冲激响应和自相关求解（非线性）。

自回归滑动平均模型：白噪声激励（P, Z）模型。

ARMA模型的显著特点：在相同参数个数的情况下，它比AR模型提供更精确表达式，可以和AR模型的谱峰值匹配和MA模型在功率谱中的陷零能力结合起来。若用有限阶的AZ（AP）模型近似PZ模型，所需要的阶数Q随着极点(零点向单位圆的接近而提高。

极点-零点模型的复倒谱（用于语音编码和语音识别中，可以确定模型参数）。

第五章 非参数功率谱估计

非参数法：没有特定的函数形式，估计量的形式完全通过数据确定。

估计量的性质（评估标准）：偏，方差，均方差，一致性，置信区间。

参数模型假设可利用的信号段模型由一个特定的参数模型生成。

主要介绍：

（1） 平稳随机信号的自相关估计

（2） 平稳随机信号的功率谱估计

（3） 联合信号分析

对采集信号进行谱分析，需要DFT变换，但无法确定信号是否为周期信号，需做处理：

（1） 周期沿拓，假设以N为周期，

，

（2） 加窗，如加矩形窗。

（3） 外推法，根据先验信息向已知信号值的区间之外外推（即决定n<0和n>=N的值）。

采样过程中可以选择不同的窗函数，窗函数会引起谱泄露和分辨率损失。

●利用有限的采集数据序列对平稳随机信号进行自相关估计：

自相关估计的期望值：

不等于实际

，是有偏估计，渐近无偏。

●功率谱估计：（1）周期图法；（2）改进周期图

周期图法：直接将离散信号

进行傅立叶变换求取功率谱估计。

其中，

，

，

是长度为N的窗口函数。

周期图是一个随机变量，它的不确定性可以通过考察它的均值、协方差、方差来解释。

周期图的均值求解，可以看出是一个有偏估计，渐近无偏估计。（偏是由于窗旁瓣泄露引起的，可以用改进的周期图或“更好的”窗来减小这个偏。）

周期图的方差：

即周期图的方差估计保持在

数量级上，不随N变化，当

时，方差并不趋于零，所以不是一个一致估计量，随着N的增加并不靠近实际谱。

周期图的方差和偏不可接受。为减小方差，对周期图进行改进。（周期图平滑和周期图平均）

改进的周期图，（1）平滑单一周期图的功率谱估计：先对自相关加延迟窗，再傅立叶变换，得到平滑估计值，减少方差。（利用延迟窗在频域平滑周期图估计）。

零相位移动平均滤波器：

方差

增加M以降低方差，但是谱的分辨率也会降低。

（2）对多个周期图求平均的功率谱估计。（实际中只有一个实现，需要把数据细

分为K个小块。） （是渐近无偏和一致估计）

改进周期图为渐近无偏和一致的。

●联合信号的分析

互功率谱的估计用互周期图估计。

系统特性估计，根据含加性噪声

的随机系统的输入

，输出

的功率谱密度函数，

可以估计估计频率响应

相干函数（衡量信号x(n和y(n在频域的相关性）

，相干函数揭示了误差存在，有助于识别误差。

第六章 最佳线性滤波器

最佳：指最小均方误差 (MMSE.

设计滤波器的步骤：

（1） 选择一个性能准则或成本函数检测估计器的性能。

（2） 根据优化准则，确定最佳估计其的参数。

（3） 对性能准则的优化值进行评价，确定最佳估计器是否满足要求。

线性估计器：

MSE：

，其中，

可以表示为：

求解线性估计器

的最佳估计得到滤波器参数，R是厄米特正定矩阵。

正规方程组：

根据得出的参数c0求出MMSE：

，其中

是期望的响应功率。

MSE二次函数的曲面成碗状，碗底对应MMSE，（可以通过对参数c求极值得到）。

正规方程组的求解方法：

最佳线性估计器及其误差性能表面的性质取决于相关矩阵R。对R进行分解

。

1.

正规方程组

2.

三角分解

3.

前向代换求k

4.

后向代换求c0

5.

计算MMSE

6.

计算误差

主要用于：求解最佳有限脉冲响应滤波器（c(n即为h（n））和线性预测系统的参数。对于平稳过程，输入信号的相关矩阵和互相关矢量与n无关，是非时变的。

最佳滤波器设计和应用包括：（1）求解正规方程组，确定最佳系数组.（2）计算对期望响应的估计输出

第七章 最佳线性滤波器的算法和结构

最佳滤波器所得结果适用于任何线性估计问题：序列处理、滤波，平稳或非平稳过程的预测。这里唯一的假设是已知二阶统计量。

估计器的阶数固定，只需求解一次正规方程组，对于不同阶数的就要进行重复计算，因此，用递归算法（包括阶数递归和时间递归）。用

表达

，需要对矩阵分块：

递归方法：最佳估计的Levinson递归；LDLH分解的阶数递归；

以上是对平稳信号的递归表示，非平稳信号卡尔曼滤波器算法（用于航天、导航等信号轨迹完全确定的领域）。

卡尔曼滤波器公式及其解答的两个主要特点是：所研究的随机过程的动态建模和输入数据的时间递归处理。

信号模型：

观测模型：

上式中A表状态转换矩阵，B表输入矩阵，H表输出矩阵，

表白噪声，v表示观测误差。

按时间递归n，信号预测：

数据预测：

Kalman增益：

信号更新：

其中，

Kalman滤波算法用于由系数已知的状态空间模型的产生过程。

第八章 最小二乘滤波和预测

MMSE通过对在一个相同设计下对所有各组数据得到最佳滤波器，LSE通过对有限长的一组数据设计最佳滤波器。

估计期望的响应y(n:

LSE估计器：

，其中

使误差E最小，求解滤波器系数。通过推到得出正规方程

平方误差的最小和：

计算LS问题的两套数值算法计算最佳滤波器系数和最佳估计值：

（1）能量域技术 用时间平均矩

和

解LS问题，方法：LDLH、Cholesky。

（2）幅值域技术 直接处理数据矩阵X和期望响应矢量。它比能量域方法需要更多的计算和有更好的数值性能，方法：QR正交化方法和SVD方法。

用于：滤波器设计，信号估计和线性预测。

第九章 信号建模和能量谱估计

信号建模：（1）根据给定数据选择合适的模型结构（直接型或格型），初步估计模型阶数。

（2）模型估计（模型拟合），根据选定的优化准则，用可用数据估计模型参数。

（3）模型确认，主要检查所建立的模型产生参差的过程是否是一个白噪声的实现。

检验方法：自相关检验；功率谱密度检验；部分自相关检验；精度检验。

模型阶数选择：选择的阶数低，频谱平滑但分辨率差，阶数高，可能出现虚假尖峰。

阶数选择准则：FPE准则；AIC准则；MDL标准；CAT准则。，通过最小化得到阶数。

极点-零点模型的估计是一个非线性问题，通过最小化最小二乘准则估计模型的参数（用迭代算法求解模型参数）。

极点-零点建模在很多领域都有应用，如谱估计、语音处理、地球物理学、生物医学信号处理和一般时序分析与预报。

谐波模型：

谐波模型（在噪声中含有P个复指数的信号模型）：

这里复指数的功率谱被当作线性谱。

求出上述模型的自相关矩阵Rx，对自相关矩阵进行特征值分解

基于信号的特征分解，将其分解为信号特征矢量和噪声特征矢量构成的信号子空间和噪声子空间的频率估计方法。（Rx是厄米特，两个子空间正交）。

谐波建模问题变为一个对复指数频率估计问题。

着眼于噪声中的复指数信号的模型：用到相关矩阵的特征值分解。谐波模型的频率估计方法包括：Pisarenko谐波分解、MUSIC、最小范数和ESPRIT算法。这些方法可以分开在频率上像个很近的复指数信号，也称为高分辨率方法。

Pisarenko谐波分解：分解为信号子空间和噪声子空间，通过选择窗口长度，使噪声子空间只含有一个特征值。可以估计出频率。

MUSIC：Pisarenko谐波分解的改进，噪声子空间不只含有一个特征值，具有更强壮的频率估计方法。

第一十章 自适应滤波器

许多实际问题不能用固定数字滤波器解决，因为我们没有设计固定滤波器的足够信息，或者是滤波器正常运算过程中设计准则发生变化，这就需要自适应滤波器。

自适应滤波器的主要特征：是依据一个用户可以接受的性能规范，在一个未知的、可能时变的环境中，无需设计者的干预即可以令人满意的运行。

自适应滤波器的目的：找到使自适应滤波器由最佳性能的参数，然后停止调整。

要求：需要信号运行环境的先验信息

自适应滤波器的性能评估：稳定性、自适应速度、自适应质量和跟踪能力等。

自适应滤波器的应用：通道中的回波抵消；数据通信信道的均衡；线性预测编码；噪声抵消。

自适应滤波器包口三个模块：

（1）滤波结构：利用输入信号，形成滤波器的输出。

（2）系能判据：用输入和期望响去评价其质量是否与特定应用的要求相符合，

也就是监视滤波器的性能。（算法：一般用平方误差的某种平均形式，如MSE）

（3）自适应算法：根据一定准则修改滤波器参数，以提高性能。

滤波：

误差形成：

自适应算法：

，

上述为先验自适应算法。自适应滤波器的目的是用在时刻n可到的数据，把“旧的”系数矢量

修正为新的估计值

，使c不断向最佳滤波器系数c0靠近，

任何自适应滤波器的设计需要信号运行环境的一般先验信息和对特定应用的深入理解。

自适应滤波器包括两个阶段：捕获和跟踪。

捕获阶段的持续时间决定自适应滤波器的自适应速度或收敛速度，而稳态EMSE或失调决定自适应滤波器的质量

内容：最速下降算法，最小均方自适应滤波器，递归最小二乘（RLS）自适应滤波器，阵列处理的RLS算法（QR分解或Cholesky分解的LS计算），用于FIR滤波的快速RLS算法，自适应算法的跟踪性能。

最速下降算法：

平稳SOE中最佳滤波器的误差性能曲面：

用迭代算法求P(c的最小值（沿曲面负梯度方向向“碗底”搜索）。

递归算法：

，

为步长参数。

两个关键性能：稳定性，充要条件：

收敛速度，时间常数：

，即输入相关矩阵R的特征值分布越大，最速下降法的收敛所需时间越长

-最小均方（LMS）自适应滤波器

LSE方法：

两种解法：最佳化法：几何近似法：

（1）最佳化法：利用Rc=d, 可得到的数据沿负梯度方向迭代从而得到最佳滤波器系数。

（2）几何近似法：使估计值c(n更接近c0,或

。几何分解

，减小

的最好选择是

。

LMS算法的应用：线性预测，全双工数据传输中的回波抵消，自适应均衡，

自适应算法跟踪性能

有效跟踪非平稳SOE的方法：按指数增长的窗口；固定长度滑动窗口；进化的模型—Kalman

滤波器

按指数增长的窗口：指数加权过去的数值。

最小化的误差函数：

遗忘因数

固定长度滑动窗口；

最小化的误差函数：

L为窗口长度。

第十一章 阵列处理

传感器以一定的方式进行加权组合，以便检测从一个特定角度到达的信号。加权过程，加重一个特定方向的信号，而削弱其他方向的信号，因而被认为构成或形成一个波束。

波束形成器是一个空间滤波器。

输出

M为阵元数，即传感器数。

接收到的阵列信号，由期望信号s(n、干扰信号i(n以及传感器热噪声w(n构成。

最佳波束形成：最大化信号功率与干扰加噪声的比率，即信号干扰加噪声比：

最大化SINR(也就是要最小化干扰加噪声，可以得出最佳加权矢量c0

自适应波束形成器：以收集的数据为基础，从这些数据中估计相关矩阵。

自适应波束形成的最基本方程是：

决定对准的方向。

第十二章 深入研究的课题

高阶统计（HOS）特性衡量与正态性的偏差。

冲激响应为h(n的BIBO稳定线性时不变系统，输入输出关系

PSD为

，，表明对系统的相位响应不敏感。

输出的三阶，四阶积累量分别为

输出的双频谱和三频谱为

可以看出，双频谱和三频谱对系统相位敏感。

双频谱的相位为：

从上面可以看出，在处理高斯信号和通过非线性系统的高斯信号时，HOS很有用。

可以用于：对附加高斯有色噪声的抑制，仅利用输出数据识别系统相位响应，对非高斯过程或非线性系统进行特性识别。

盲解卷积

高阶统计解决非最小相位系统中盲解卷积

（1） 如果输入信号是IID的，在所需统计矩已知的情况下，用最小平方误差原则解卷积，通过输出信号和一些关于输入信号的统计信息，重现系统G(z的输入信号

只能识别系统幅值，不能识别相位信息，也就是说MMSE线性预测能根据输出信号的自相关,解决用高斯信号输入最小相位系统的盲解卷积问题.。然后利用倒置系统重现输入信号。

计算盲解卷积的方法：

1.识别系统G(z, 设计它的逆系统H(z，然后计算输入w(n。

2.直接识别逆系统H(zz=1/G(z,然后确定输入w(n。

3.直接从输出x(n估计输入w(n。

(2 如果输入信号

是IID的非高斯信号，输出的双频谱为

结论：如果输入信号是非高斯的，可以通过多谱估计得出系统的幅度和相位响应。若输入为高斯的，则不能只通过输入信号的二阶距正确识别倒置系统的相位响应。

上图：令

，

当且仅当c(n有仅有一个非零系数时，信号y(n，w(n有相同的非高斯分布。

若已知输入w(n的功率谱密度函数，可以通过恢复y(n的功率谱密度函数来确定倒置系统h(n，以达到匹配输入信号w(n功率谱密度函数的目的

事实上仅需恢复前四阶矩即可。

盲解卷积恢复倒置系统的充要条件是：

和

,

可以解决有约束的最佳化问题确定h(n

对于实信号 ：

通过最大化上式可以得出盲解卷积的解。

基于HOS方法盲解卷积，收敛速度较慢，需要大量采样数据，计算复杂。

两种随机信号模型：分数的及自相似模型或称随机分形零模型（长期记忆性）。

分数极点-零点信号模型

分数极点模型系统响应：

其中d为非整数，即分数参数。

具有双曲线衰减的自相关，具有长期记忆性

盲均衡器：无需训练信号辅助运行的自适应均衡器成为盲均衡器。

盲均衡器算法：（1）基于HOS的方法，

(2基于循环平稳统计的方法，它使用接收到的信号的二阶循环平稳统计信息。