算法#18--最大流量问题（网络流算法）_图面流量是最大流量吗为什么

1.物理模型

请想象一组相互连接大小不一的输油管道，每根管道有它自己的流量和容量，问从起点到终点的最大流量是多少？如下流量图中，深色路径流量之和为最大路径。如何求得，下面内容将详细介绍。

2.数学模型

一个流量网络，是一张边的权重（这里称为容量）为正的加权有向图。一个st-流量网络有两个已知的顶点，即起点s和终点t。

3.Ford-Fulkerson算法

也称为增广路径算法。它的定义是：网络中的初始流量为零，沿着任意从起点到终点（且不含有饱和的正向边或是空逆向边）的增广路径增大流量，直到网络中不存在这样的路径为止。

也即，假设x为该路径上的所有边中未使用容量的最小值，那么只需将所有边的流量增大x，即可将网络中的总流量至少增大x。反复这个过程，直到所有起点到终点的路径上至少有一条边是饱和的。

4.剩余网络

这里，与流量对应的边的方向和流量本身相反。代码如下FlowNetwork类。

5.代码实现

对Ford-Fulkerson算法最简单的实现可能就是最短增广路径算法了（最短指的是路径长度最小，而非流量或是容量）。增广路径的查找等价于剩余网络中的广度优先搜索（BFS）。

public class FordFulkerson 
{
   
    private boolean[] marked;   //在剩余网络中是否存在从s到v的路径
    private FlowEdge[] edgeTo;  //从s到v的最短路径上的最后一条边
    private double value;       //当前最大流量

    public FordFulkerson(FlowNetwork G, int s, int t)
    {   //找出从s到t的流量网络G的最大流量配置
        while(hasAugmentingPath(G, s, t))
        {   //利用所有存在的增广路径
            //计算当前的瓶颈容量
            double bottle = Double.POSITIVE_INFINITY;
            for(int v = t; v != s; v = edgeTo[v].other(v))
            {
                bottle = Math.min(bottle, edgeTo[v].residualCapacityTo(v));
            }
            //增大流量
            for(int v = t; v != s; v = edgeTo[v].other(v))
            {
                edgeTo[v].addResidualFlowTo(v, bottle);
            }
            value += bottle;
        }       
    }

    private boolean hasAugmentingPath(FlowNetwork G, int s, int t)
    {
        marked 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30