多模态多目标算法评价指标_igd hv

评价指标可以将不同算法的性能量化，在算法评估和对比中起着非常重要的作用

在传统的多目标算法中，常用的评价指标有IGD和HV，它们只能衡量种群在目标空间的分布情况，对于多模态多目标而言，即使目标空间的分布性能良好，决策空间的性质也可能很差。

多模态多目标算法评价指标的性质

• 能反映决策空间的多样性、收敛性、覆盖率；
• 能反映目标空间的多样性、收敛性、覆盖率；
• 有合理的量化范围；
• 能用以比较不同算法解决多模态多目标优化问题的能力

IGDX（衡量PS与真实PS之间的接近程度）

令$P^{\ast }$代表真实PS均匀分布的点集（参考点），O代表算法求得的解集，IGDX的计算公式：
$$IGDX(O,P^{\ast })=\frac{{\Sigma }_{v\in P^{\ast }}d(v,O)}{|P^{\ast }|}$$
其中$d(v,O)$表示$v$和$O$中所有点之间欧式距离的最小值，$|P^{\ast }|$表示参考点的数目。

如果参考点集能够很好的表示真实PS，那么IGDX 就能较好的衡量决策空间的收敛性和多样性. IGDX 的值越小，说明算法求得的解集和参考点集越接近

• 注：代码请参考这篇博客集成在PlatEMOv2.9上的IGDX代码

PSP（Pareto Sets Proximity）反映了得到的PSs与真实PSs之间的相似性

$$PSP=\frac{CR}{IGDX}$$

其中$CR$为覆盖率，$IGDX$为决策空间的反转世代距离。

CR公式如下：
$${\left(\prod _{i=0}^n{\sigma }_l\right)}^{1/2n}$$

• 其中${\sigma }_l$ 如下：
  $${\sigma }_l\{\begin{array}{ll}1& V_l^{max}=V_l^{min}\\ 0& v_l^{min}\ge V_l^{max}\left|\right|v_l^{max}\le V_l^{min}\\ {\left(\frac{min(v_l^{max},V_l^{max})-max(v_l^{min},V_l^{min})}{V_l^{max}-V_l^{max}}\right)}^2& otherwise\end{array}$$
  在这个式中式中$n$为决策空间的维数；$v_l^{max}$和 $v_l^{min}$分别为第$l$个变量得到的$PS$的最大值和最小值；$V_l^{max}$和$V_l^{min}$是第$l$个变量的真$PS$的最大值和最小值。

PSP不仅能反映得到PS的收敛性，还能表示真PS与得到PS的重叠率。更大的PSP值是可取的。

• 注：代码请参考这篇博客集成在PlatEMOv2.9上的PSP代码

$\frac{1}{PSP}$

$$\frac{1}{PSP}=\frac{IGDX}{CR}$$

• $\frac{1}{PSP}$ 是$PSP$的改进的评价指标，这是因为$PSP$的最优值为无穷大，根据指标值无法判断算法求得解集和最优解集的差距，于是Yue et al. 在A novel scalable test problem suite for multimodal multiobjective optimization 中，将$PSP$改成$\frac{1}{PSP}$这样评价指标$\frac{1}{PSP}$的最优值变为零，指标值越接近零说明算法性能越好. $\frac{1}{PSP}$的计算方法如公式(4). 它既能反映算法求得解集对真实$PS$的覆盖率，又能反映它们之间的接近程度.

• $\frac{1}{PSP}$越小说明算法求得的解集与真实解集越接近，且算法求得的解集对真实解的覆盖率越大。$\frac{1}{PSP}$也只能反应决策空间的性质。

备注：以上内容请查阅A Multiobjective Particle Swarm Optimizer Using Ring Topology for Solving Multimodal Multiobjective Problems