生成模型-流模型（Flow）_流的生成 flow 综述

前言

• Flow-based模型的不同之处
  从去年GLOW提出之后，我就一直对基于流（flow）的生成模型是如何实现的充满好奇，但一直没有彻底弄明白，直到最近观看了李宏毅老师的教程之后，很多细节都讲解地比较清楚，就想好好写篇笔记来梳理一下流模型的运作原理。
  首先来简单介绍一下流模型，它是一种比较独特的生成模型——它选择直接直面生成模型的概率计算，也就是把分布转换的积分式（$p_G(x))={\int }_{z}p(x|z)p(z)dz$）给硬算出来。要知道现阶段其他较火的生成模型，要么采用优化上界或采用对抗训练的方式去避开概率计算，从而寻找近似逼近真实分布的方法，但是流模型选择了一条硬路（主要是通过变换Jacobian行列式）来求解，在后文会详细介绍。

  流模型有一个非常与众不同的特点是，它的转换通常是可逆的。也就是说，流模型不仅能找到从A分布变化到B分布的网络通路，并且该通路也能让B变化到A，简言之流模型找到的是一条A、B分布间的双工通路。当然，这样的可逆性是具有代价的——A、B的数据维度必须是一致的。
  A、B分布间的转换并不是轻易能做到的，流模型为实现这一点经历了三个步骤：最初的NICE实现了从A分布到高斯分布的可逆求解；后来RealNVP实现了从A分布到条件非高斯分布的可逆求解；而最新的GLOW，实现了从A分布到B分布的可逆求解，其中B分布可以是与A分布同样复杂的分布，这意味着给定两堆图片，GLOW能够实现这两堆图片间的任意转换。
  下面就是流模型学习笔记的正文，尽可能较简明地讲解清楚流模型的运行机制。

1.Flow-Based Model的建模思维

首先来回顾一下生成模型要解决的问题：

如上图所示，给定两组数据$z$和$x$，其中$z$服从已知的简单先验分布$\pi (z)$（通常是高斯分布），$x$服从复杂的分布$p(x)$（即训练数据代表的分布），现在我们想要找到一个变换函数$f$，它能建立一种$z$到$x$的映射$f:z\to x$，使得每对于$\pi (z)$中的一个采样点$z^{\prime }$，都能在$p(x)$中有一个（新）样本点$x^{\prime }$与之对应。
如果这个变换函数能找到的话，那么我们就实现了一个生成模型的构造。因为，$p(x)$中的每一个样本点都代表一张具体的图片，如果我们希望机器画出新图片的话，只需要从$\pi (z)$中随机采样一个点，然后通过$f:z\to x$，得到新样本点$x$，也就是对应的生成的具体图片。
所以，接下来的关键在于，这个变换函数f如何找呢？我们先来看一个最简单的例子。

如上图所示，假设z和x都是一维分布，其中z满足简单的均匀分布：$\pi (z)=1(z\in [0,1])$，x也满足简单均匀分布：$p(x)=0.5(x\in [1,3])$。

那么构建z与x之间的变换关系只需要构造一个线性函数即可：$x=f(z)=2z+1$。
下面再考虑非均匀分布的更复杂的情况:

如上图所示，$\pi (z)$与$p(x)$都是较为复杂的分布，为了实现二者的转化，我们可以考虑在很短的间隔上将二者视为简单均匀分布，然后应用前边方法计算小段上的$f_{△}$，最后将每个小段变换累加起来（每个小段实际对应一个采样样本）就得到最终的完整变换式$f$。

如上图所示，假设在$[z^{\prime },z\prime +△z]$上$\pi (z)$近似服从均匀分布，在$[x\prime ,x\prime +△x]$上$p(x)$也近似服从均匀分布，于是有$p(x\prime )△x=\pi (z\prime )△z$（因为变换前后的面积/即采样概率是一致的），当$△x$与$△z$极小时，有：
$$p(x^{\prime })=\pi (z^{\prime })\frac{dz}{dx}$$
又考虑到$\frac{dz}{dx}$有可能是负值（如下图所示），而$p(x^{\prime })$与$\pi (z^{\prime })$都为非负，所以$p(x^{\prime })$与$\pi (z^{\prime })$的实际关系为：$p(x^{\prime })$ = $\pi (z^{\prime })|\frac{dz}{dx}$。

下面进一步地做推广，我们考虑z与x都是二维分布的情形。

如上图所示，$z$与$x$都是二维分布，左图中浅蓝色区域表示初始点$z^{\prime }$在$z_1$方向上移动$∆z_1$，在$z_2$方向上移动$∆z_2$所形成的区域，这一区域通过$f:z\to x$映射，形成右图所示$x$域上的浅绿色菱形区域。其中，二维分布$\pi (z)$与$p(x)$均服从简单均匀分布，其高度在图中未画出（垂直纸面向外）。如上图所示，$z$与$x$都是二维分布，左图中浅蓝色区域表示初始点在方向上移动$\Delta$，在方向上移动$\Delta$所形成的区域，这一区域通过映射，形成右图所示$x$域上的浅绿色菱形区域。其中，二维分布$\pi (z)$与$p(x)$均服从简单均匀分布，其高度在图中未画出（垂直纸面向外）。

因为蓝色区域与绿色区域具有相同的体积，所以有：
p ( x ′ ) ∣ d e t [ △ x 11 △ x 12 △ x 21 △ x 22 ] ∣ = π ( z ′ ) △ z 1 △ z 2 p({x}')|det

$$\begin{bmatrix} \triangle x_{11}&\triangle x_{12} \\ \triangle x_{21}&\triangle x_{22} \end{bmatrix}$$ | = \pi(z')\triangle z_1 \triangle z_2 p(x′)∣det[△x11​△x21​​△x12​△x22​​]∣=π(z′)△z1​△z2​
其中代表行列式计算
$$det\left[\begin{array}{cc}△x_{11}& △x_{12}\\ △x_{21}& △x_{22}\end{array}\right]$$
，它的计算结果等于上图中浅绿色区域的面积（行列式的定义）。下面我们将$∆z_1∆z_2$移至左侧，得到：
$$p(x^{\prime })|\frac{1}{△z_1△z_2}\left[\begin{array}{cc}△x_{11}& △x_{12}\\ △x_{21}& △x_{22}\end{array}\right]|=\pi (z^{\prime })$$
即：
$$p(x^{\prime })|det\left[\begin{array}{cc}△\frac{x_{11}}{△z_1}& \frac{△x_{12}}{△z_2}\\ △\frac{x_{21}}{△z_1}& \frac{△x_{22}}{△z_2}\end{array}\right]|=\pi (z^{\prime })$$
当$△z_1△z_2$很小时，有：
$$p(x^{\prime })=\pi (z^{\prime })|det(J_{f^{-1}})|$$

其中$J_{f^{-1}}$代表从$x$变换为$z$的变换式，即：$z={\text{f}}^{-1}(x)$。至此，我们得到了一个比较重要的结论：如果$z$与$x$分别满足两种分布，并且$z$通过函数f能够转变为$x$，那么$z$与$x$中的任意一组对应采样点$z^{\prime }$与$x^{\prime }$之间的关系为：
{ π ( z ′ ) = p ( x ′ ) ∣ d e t ( J f ) ∣ p ( x ′ ) = π ( z ′ ) ∣ d e t ( J f − 1 ) ∣ \left\{

$$\begin{matrix} \pi(z') = p(x')|det(J_f)| \\ p(x') = \pi(z')|det(J_{f^{-1}})| \end{matrix}$$ \right. {π(z′)=p(x′)∣det(Jf​)∣p(x′)=π(z′)∣det(Jf−1​)∣​

那么基于这一结论，再带回到生成模型要解决的问题当中，我们就得到了Flow-based Model（流模型）的初步建模思维。

如上图所示，为了实现$z\pi (z)$到$x=G(z)p_G(x)$间的转化，待求解的生成器G的表达式为：
$$G^{\ast }=arg\underset{G}{\max }\sum _{i=1}^{m}log{p}_G(x^i)$$
基于前面推导，我们有$p_G(x)$中的样本点与$\pi (z)$中的样本点间的关系为：
$$p_G(x_i)=\pi (z^i)(|det(J_G)|{)}^{-1}$$
其中$z_i=G^{-1}(x^i)$
所以，如果$G^{\ast }$的目标式能够通过上述关系式求解出来，那么我们就实现了一个完整的生成模型的求解。Flow-based Model就是基于这一思维进行理论推导和模型构建，下面将会详细解释Flow-based Model的求解过程。

2.Flow-based Model的理论推导&架构设计

我们关注一下上一章中引出的式子：
$$p_G(x_i)=\pi (z^i)(|det(J_G)|{)}^{-1},z^i=G^{-1}(x^i)$$
将其取log，得到：
$$log(p_G(x_i))=log(\pi (z^i))+log((|det(J_G)|{)}^{-1})$$

现在，如果想直接求解这个式子有两方面的困难。第一个困难是，$det(J_{G^{-1}})$是不好计算的——由于$G^{-1}$的Jacobian矩阵一般维度不低（譬如256$\star$ 256矩阵），其行列式的计算量是异常巨大的，所以在实际计算中，我们必须对$G^{-1}$的Jacobian行列式做一定优化，使其能够在计算上变得简洁高效。第二个困难是，表达式中出现了$G^{-1}$，这意味着我们要知道$G^{-1}$长什么样子，而我们的目标是求$G$，所以这需要巧妙地设计$G$的结构使得$G^{-1}$也是好计算的。

下面我们来逐步设计$G$的结构，首先从最基本的架构开始构思。考虑到$G^{-1}$必须是存在的且能被算出，这意味着$G$的输入和输出的维度必须是一致的并且$G$的行列式不能为0。然后，既然$G^{-1}$可以计算出来，而$log(p_G(x^i))$的目标表达式只与$G^{-1}$有关，所以在实际训练中我们可以训练$G^{-1}$对应的网络，然后想办法算出$G$来并且在测试时改用$G$做图像生成。

如上图所示，在训练时我们从真实分布$p_{data}(x)$中采样出$x^i$，然后去训练$G^{-1}$，使得通过$G^{-1}$生成的$z^i=G^{-1}(x^i)$满足特定的先验分布；接下来在测试时，我们从$z$中采样出一个点$z^j$，然后通过$G$生成的样本$x^j=G(z^j)$就是新的生成图像。
接下来开始具体考虑$G$的内部设计，为了让$G^{-1}$可以计算并且$G$的Jacobian行列式也易于计算，Flow-based Model采用了一种称为耦合层（Coupling Layer）的设计来实现。

如上图所示，$z$和$x$都会被拆分成两个部分，分别是前$1d$维和后$d+1D$维。从$z$变化为$x$的计算式为：$z$的$1d$维直接复制（copy）给$x$的$1d$维；$z$的$d+1D$维分别通过$F$和$H$两个函数变换为和，然后$x_i={\beta }_i{z}_i+{\gamma }_i(i=d+1,...,D)$通过的仿射计算（affine）传递给$x$。综上，由$z$传给$x$的计算式可以写为：
{ x i = z i , i ≤ d x i = β i z i + γ i , i > d \left\{

$$\begin{matrix} x_i = z_i,i \le d\\ x_i = \beta_i z_i + \gamma_i, i>d \end{matrix}$$ \right. {xi​=zi​,i≤dxi​=βi​zi​+γi​,i>d​

其逆运算的计算式，即由x传给z的计算式，可以非常方便地推导出来为：
{ z i = x i , i ≤ d z i = x i − γ i β i , i > d \left\{

$$\begin{matrix} z_i = x_i,i \le d\\ z_i = \frac{x_i - \gamma_i}{\beta_i} , i>d \end{matrix}$$ \right. {zi​=xi​,i≤dzi​=βi​xi​−γi​​,i>d​

上面我们说明了，这样设计的耦合层能快速计算出$G^{-1}$，下面我们来说明，其在$G$的Jacobian行列式的计算上也是非常简便。

上图展示了$G$的Jacobian行列式的计算矩阵。首先由于$z_{i...d}$直接传递给$x_{i...d}$所以Jacobian矩阵的左上角区域是单位矩阵$I$，然后$x_{i...d}$完全不受$z_{d+\mathrm{1...}D}$影响，所以Jacobian矩阵的右上角区域是零矩阵O，这导致Jacobian矩阵的左下角区域的值对Jacobian矩阵行列式的计算没有影响，也就无需考虑。最后我们关注Jacobian矩阵的右下角区域，由于$x_i={\beta }_i{z}_i+{\gamma }_i(i>d)$，所以只有在$i=j$的情况下$\frac{\partial x_i}{\partial z_j}\ne 0$，而在$i\ne j$处$\frac{\partial x_i}{\partial z_j}=0$，所以Jacobian矩阵的右下角区域是一个对角矩阵。

最终，该$G$的Jacobian的行列式计算式就表示为：
$$det(J_G)=\frac{\partial x_{d+1}}{\partial z_{d+1}}\frac{\partial x_{d+2}}{\partial z_{d+2}}\frac{\partial x_D}{\partial z_D}={\beta }_{d+1}{\beta }_{d+2}\cdot \cdot \cdot {\beta }_D$$
这确实是一个易于计算的简单表达式。接下来可以考虑，由于上述措施对$G$做了诸多限制，导致$G$的变换能力有限，所以我们可以堆叠多个$G$，去增强模型的变换拟合能力。

如上图所示，我们将多个耦合层堆叠在一起，从而形成一个更完整的生成器。但是这样会有一个新问题，就是最终生成数据的前d维与初始数据的前d维是一致的，这会导致生成数据中总有一片区域看起来像是固定的图样（实际上它代表着来自初始高斯噪音的一个部分），我们可以通过将复制模块（copy）与仿射模块（affine）交换顺序的方式去解决这一问题。

如上图所示，通过将某些耦合层的copy与affine模块进行位置上的互换，使得每一部分数据都能走向copy->affine->copy->affine的交替变换通道，这样最终的生成图像就不会包含完全copy自初始图像的部分。值得说明的是，在图像生成当中，这种copy与affine模块互换的方式有很多种，下面举两个例子来说明：

上图展示了两种按照不同的数据划分方式做copy与affine的交替变换。左图代表的是在像素维度上做划分，即将横纵坐标之和为偶数的划分为一类，和为奇数的划分为另外一类，然后两类分别交替做copy和affine变换（两两交替）；右图代表的是在通道维度上做划分，通常图像会有三通道，那么在每一次耦合变换中按顺序选择一个通道做copy，其他通道做affine（三个轮换交替），从而最终变换出我们需要的生成图形出来。

更进一步地，如何进行copy和affine的变换能够让生成模型学习地更好，这是一个可以由机器来学习的部分，所以我们引入W矩阵，帮我们决定按什么样的顺序做copy和affine变换，这种方法叫做1×1 convolution（被用于知名的GLOW当中）。1×1 convolution只需要让机器决定在每次仿射计算前对图片哪些区域实行像素对调，而保持copy和affine模块的顺序不变，这实际上和对调copy和affine模块顺序产生的效果是一致的。

这种对调的原理非常简单，如上图所示举例，假设我们需要将（3,1,2）向量替换成（1,2,3）向量，只需要将w矩阵定义为图中所示矩阵即可。下面我们看一下，将w引入flow模型之后，对于原始的Jacobian行列式的计算是否会有影响。

对于每一个3*3维划分上的仿射操作来说，由$x=f(x)=W_z$我们可以得到f的Jacobian行列式的计算结果为：
J ( f ) = [ ∂ x 1 ∂ z 1 ∂ x 1 ∂ z 2 ∂ x 1 ∂ z 3 ∂ x 2 ∂ z 1 ∂ x 2 ∂ z 2 ∂ x 2 ∂ z 3 ∂ x 3 ∂ z 1 ∂ x 3 ∂ z 2 ∂ x 3 ∂ z 3 ] = [ w 11 w 12 w 13 w 21 w 22 w 23 w 31 w 32 w 33 ] = W J(f) =

$$\begin{bmatrix} \frac{\partial x_{1}}{\partial z_{1}}&\frac{\partial x_{1}}{\partial z_{2}}&\frac{\partial x_{1}}{\partial z_{3}} \\ \frac{\partial x_{2}}{\partial z_{1}}&\frac{\partial x_{2}}{\partial z_{2}}&\frac{\partial x_{2}}{\partial z_{3}} \\ \frac{\partial x_{3}}{\partial z_{1}}&\frac{\partial x_{3}}{\partial z_{2}}&\frac{\partial x_{3}}{\partial z_{3}} \\ \end{bmatrix}$$ = $$\begin{bmatrix} w_{11}&w_{12}&w_{13} \\ w_{21}&w_{22}&w_{23} \\ w_{31}&w_{32}&w_{33} \\ \end{bmatrix}$$ = W J(f)= ​∂z1​∂x1​​∂z1​∂x2​​∂z1​∂x3​​​∂z2​∂x1​​∂z2​∂x2​​∂z2​∂x3​​​∂z3​∂x1​​∂z3​∂x2​​∂z3​∂x3​​​ ​= ​w11​w21​w31​​w12​w22​w32​​w13​w23​w33​​ ​=W

代入到整个含有d个3*3维的仿射变换矩阵当中，得到最终的Jacobian行列式的计算结果就为：
$(det(W){)}^{d\ast d}$，如下图所示：

综上，关于Flow-based Model的理论讲解和架构分析就全部结束了，它通过巧妙地构造仿射变换的方式实现不同分布间的拟合，并实现了可逆计算和简化雅各比行列式计算的功能和优点，最终我们可以通过堆叠多个这样的耦合层去拟合更复杂的分布变化（如上图所示），从而达到生成模型需要的效果。

参考

https://www.gwylab.com/note-flow_based_model.html