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MIT开源项目Cheetah3-MPC控制部分原理解析_mit mpc
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MPC控制
我们的 MPC 的目标是找到反作用力，使质点遵循给定的轨迹。在 MPC 的优化过程中，步态调度器和步长规划器预先定义了接触序列。 这让公式保持凸性，使得优化问题求解速度快，并且可以始终求解到唯一的全局最小值。 而在非线性优化中并不总是可以得到的。
1、线性模型
由于力臂的交叉积项和转向动力学，即使是简单的质点模型也不是完全线性的。为了实现线性MPC公式，我们应用了三个简化。
a、假设滚动和俯仰角很小。
基于这个假设，我们可以简化坐标变换如下：
Θ ˙ ≈ R z ( ψ ) ω (4) \dot{\Theta} \approx R_z(\psi)\omega \tag{4} Θ˙≈Rz(ψ)ω(4)
g I ≈ R z ( ψ ) B I R z ( ψ ) T (5) _gI \approx R_z(\psi)_BIR_z(\psi)^T \tag{5} gI≈Rz(ψ)BIRz(ψ)T(5)
其中
- Θ ˙ = [ ϕ ˙ θ ˙ ψ ˙ ] T \dot{\Theta} = [\dot{\phi } \quad \dot{\theta} \quad \dot{\psi}] ^T Θ˙=[ϕ˙θ˙ψ˙]T：为机体的角速度（分别对应roll，pitch，yaw）
- R z ( ψ ) R_z(\psi) Rz(ψ)：旋转矩阵，将角速度映射到世界坐标系
- ω \omega ω：机身坐标系下的角速度
- g I _gI gI：世界坐标系下的惯性张量
- B I _BI BI：机身坐标系下的惯性张量
b、状态与指定轨迹接近
我们利用旋转矩阵中的指令 ψ \psi ψ，创建了时变线性动力学方程，并且利用命令的轨迹和当前步位置所计算出的预定轨迹设置等式(2)中的力臂。
c、俯仰和滚转速度都很小， 惯性张量的非对角线项也很小。
基于上两个假设，等式2近似于：
d d t ( I ω ) = I ω ˙ + ω × ( I ω ) ≈ I ω ˙ (6) \frac{d}{d_t}(I\omega) = I\dot{\omega} + \omega \times(I\omega) \approx I\dot{\omega} \tag{6} dtd(Iω)=Iω˙+ω×(Iω)≈Iω˙(6)
2、构建优化问题
将1中的简化结果整理成以下三条公式：
Θ = R z T ( ψ ) ω (a) \Theta = R_z^T(\psi)\omega \tag{a} Θ=RzT(ψ)ω(a)
∑ i = 1 n r i × f i = I ω ˙ (b) \sum_{i=1}^{n}r_i \times f_i = I\dot{\omega} \tag{b} i=1∑nri×fi=Iω˙(b)
p ¨ = ∑ i = 1 n f i m − g (c) \ddot{p} = \frac{\sum_{i=1}^{n}f_i}{m} - g \tag{c} p¨=m
