逻辑斯蒂回归算法详解_在logistic回归模型中令z当z趋于正无穷时

逻辑斯蒂回归算法可用于分类问题，其本质是在线性回归的算法上用sigmoid函数进行模型变换，使得目标值介于0-1之间。本文用于对逻辑斯蒂回归算法（Logistics Regression）进行详细讲述。

逻辑斯蒂回归基本假设

我们知道线性回归的基本假设是h(x)=θ^Tx,为了实现介于[0,1]这种效果，需要对假设模型进行变换，变换是通过sigmoid函数实现的，sigmoid函数如下：

sigmoid函数的特性

1、当z→负无穷时，g(z)趋近于0，当z→正无穷时，g(z)趋近于1，且g(0)=1/2
(ps:个人认为，实际上从线性回归变换至逻辑斯蒂回归并不必须要求是通过sigmoid函数，只要是满足以上特性的函数皆可)，以下为sigmoid函数图像：

2、sigmoid函数的一阶导数与原函数存在关系：

按照sigmoid函数我们进行变换，得到逻辑斯蒂回归模型的基本假设：

逻辑斯蒂回归的损失函数

参考线性回归的损失函数是由最大似然估计推到得出，逻辑斯蒂回归本身具有概率意义，亦可以用最大似然估计得出。
假定（至于为何如此假定，大概率是本身经过sigmoid变换后的逻辑斯蒂基本式h(x)很像概率函数F(X)）

以上两个式子可以合为一个（因为y的取值为0或1），即：

假设m个训练集是iid，则有最大似然函数L(θ)为：

取对数为：

至此，我们得出逻辑斯蒂回归的最大似然函数，我们的任务是max l(θ)

最小化逻辑斯蒂回归损失函数（最大化其最大似然函数）

Perceptron Learning Algorithm

若对逻辑斯蒂的模型做变换时不用sigmoid，而用以下公式：

则有：h(x)=g(θ^Tx)，利用如下更新规则找出最优θ（类似梯度下降算法）

以上算法称为传感器学习算法（Perceptron Learning Algorithm）

梯度下降算法

这个包含全梯度下降算法和随机梯度下降算法，很常见，不在赘述。

牛顿方法（Newton Method）

我们现在尝试找出任意函数f(θ)的值为0对应的θ值，则我们可以利用迭代方法得到最终的θ：

图解：
注：若θ为多元列向量，则可以使用矩阵迭代运算，有：

其中H为n*n阶（n为θ列向量元素数量）海塞矩阵，其中元素为：