环形石子合并问题

目录

题目描述

样例

题目解析

代码

---

题目链接：活动 - AcWing

题目描述

将 nn 堆石子绕圆形操场排放，现要将石子有序地合并成一堆。

规定每次只能选相邻的两堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数记做该次合并的得分。

请编写一个程序，读入堆数 nn 及每堆的石子数，并进行如下计算：

• 选择一种合并石子的方案，使得做 n−1 次合并得分总和最大。
• 选择一种合并石子的方案，使得做 n−1 次合并得分总和最小。

输入格式

第一行包含整数 n，表示共有 n 堆石子。

第二行包含 n 个整数，分别表示每堆石子的数量。

输出格式

输出共两行：

第一行为合并得分总和最小值，

第二行为合并得分总和最大值。

数据范围

1≤n≤200

样例

输入样例：

4
4 5 9 4

输出样例：

43
54

题目解析

如果在一堆石子中合并任意两堆，则用哈夫曼树的二叉堆；

如果在一堆石子中合并任意n堆，则用哈夫曼树的n叉堆。

但是在这道题目中，是合并相邻的两堆，则使用区间dp模型。

我们用len=1表示初值，只考虑一堆石子，len=n表示终值，考虑全部的石子。

在考虑环形数组的区间dp时可以用两种方法:

1.枚举间断点，这时时间复杂度为o(n4)

2.建立长度为2n的数组，且w[i]=w[i+n]，在这个数组上计算，时间复杂度为o(n3)

这道题的状态转移方程为:f[l,r]=max(f[l,r],f[l,k]+f[k+1,r]+w[l]+……w[r]),k取 l 到  r。

代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
 
using namespace std;
 
const int N = 410,INF=0x3f3f3f3f;
int w[N],s[N];
int f[N][N],g[N][N];
 
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>w[i];
        w[i+n]=w[i];
    }
    
    memset(f,0x3f,sizeof f);
    memset(g,-0x3f,sizeof g);
    
    for(int i=1;i<=n*2;i++) s[i]=s[i-1]+w[i];
    
    for(int len=1;len<=n;len++)
    {
        for(int l=1;l+len-1<=2*n;l++){
            int r=l+len-1;
            if(len==1) f[l][r]=0,g[l][r]=0;
            else
            {
                for(int k=l;k<r;k++){
                    f[l][r]=min(f[l][r],f[l][k]+f[k+1][r]+s[r]-s[l-1]);
                    g[l][r]=max(g[l][r],g[l][k]+g[k+1][r]+s[r]-s[l-1]);
                }
            }
        }
    }
    
    int maxv=-INF,minv=INF;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        maxv=max(maxv,g[i][i+n-1]);
        minv=min(minv,f[i][i+n-1]);
    }
    
    cout<<minv<<endl<<maxv<<endl;
    
    return 0;
}