李宏毅机器学习-深度学习介绍和反向传播机制_李宏毅 深度学习

深度学习介绍

深度学习的三个步骤

• Step1：神经网络（Neural Network）
• Step2：模型评估（Goodness of function）
• Step3：选择最优函数（Pick the best function）
  

Step1：神经网络（Neural Network）

完全连接前馈神经网络

概念：前馈（feedforward）也可以称为前向，从信号流向来理解就是输入信号进入网络后，信号流动是单向的，即信号从前一层流向后一层，一直到输出层。其中任意两层之间的连接并没有反馈（feedback），亦即信号没有从后一层又返回到前一层。

• 给定神经网络的结构，本质上相当于定义一个函数集合。

下图为输入为1和-1的时候经过一系列复杂的运算得到的结果，最终输出为0.62和0.83：

下图为输入为0和0的时候经过一系列复杂的运算得到的结果，最终输出为0.51和0.85：

上图中的每一层的连接都相当于一个函数$y=w_1\ast x_1+w_2\ast x_2+b$，其中，[$w_1，w_2$]为权重，$b$为偏差，得到的函数值$y$再经过Sigmoid Function（激活函数）转化，然后成为下一层的输入（最后一层为输出）。
一个神经网络如果权重和偏差都知道的话就可以看成一个函数，其输入是一个向量，对应的输出也是一个向量。

• 完全连接和前馈的理解：

输入层（Input Layer）：1层
隐藏层（Hidden Layer）：N层
输出层（Output Layer）：1层

• 为什么叫完全连接呢？
  • 因为layer1与layer2之间两两都有连接，所以叫做Fully Connect。
• 为什么叫前馈呢？
  • 因为现在传递的方向是由后往前传，所以叫做Feedforward。

What is Deep

• Deep = Many hidden layer。
  深度学习即指包含很多隐藏层的网络。
  

随着层数变多，错误率降低，随之运算量增大。
而矩阵计算（Matrix Operation）能使得我们的运算的速度以及效率高很多，因为可以使用GPU加速。


看起来整个神经网络运算就相当于一连串的矩阵运算。
从结构上看每一层的计算都是一样的，也就是用计算机进行并行矩阵运算。

• 本质：通过隐藏层进行特征转换

把隐藏层通过特征提取来替代原来的特征工程，这样在最后一个隐藏层输出的就是一组新的特征（相当于黑箱操作）。而对于输出层，其实是把前面的隐藏层的输出当做输入（经过特征提取得到的一组最好的特征）然后通过一个多分类器（可以是softmax函数）得到最后的输出。

• 注意：输入和输出的维度不一定相同，比如在手写数字识别试验中，输入是256维的向量，输出是10维的向量。

Step2：模型评估（Goodness of function）

• 对于模型的评估，我们一般采用损失函数来反映模型的好坏，而对于神经网络来说，我们采用交叉熵（cross entropy）函数来对$y$和$\hat{y}$的损失进行计算。然后要调整参数，让交叉熵越小越好。

• 总体损失：对于损失，我们要计算整体所有训练数据的损失，然后把所有的训练数据的损失都加起来，得到一个总体损失L。

接下来就是在function set里面找到一组函数能最小化这个总体损失L，或者是找一组神经网络的参数$\theta$，来最小化总体损失L。

Step3：选择最优函数（Pick the best function）

• 梯度下降法
  

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反向传播机制

链式法则

• 连锁影响(可以看出x会影响y，y会影响z)
• BP主要用到了chain rule

反向传播

• 损失函数(Loss function)是定义在单个训练样本上的，也就是就算一个样本的误差，用L表示。
• 总体损失函数(Total loss function)是定义在整个训练集上面的，也就是所有样本的误差的总和。也就是平时我们反向传播需要最小化的值。
• 代价函数(Cost function)是定义在整个训练集上面的，也就是所有样本的误差的总和的平均，也就是损失函数的总和（总体损失函数）的平均，有没有这个平均其实不会影响最后的参数的求解结果。
  
  取出一个Neuron进行分析
  

从这一小部分中去看，把计算梯度$\frac{\partial l}{\partial w}$分成两个部分：

• 计算$\frac{\partial z}{\partial w}$（Forward pass的部分）
• 计算$\frac{\partial l}{\partial z}$ ( Backward pass的部分 )

Forward Pass

• 计算$\frac{\partial z}{\partial w}$

根据求微分原理，forward pass的运算规律就是：
$$\begin{gathered} \frac{\partial z}{\partial w_1}=x_1 \\ \frac{\partial z}{\partial w_2}=x_2 \end{gathered}$$

• 这里计算得到的$x_1$和$x_2$恰好就是输入的$x_1$和$x_2$
  
  

Backward Pass

• 计算$\frac{\partial l}{\partial z}$
  
  上图$a=\sigma (z)$使用Sigmoid函数。

这里使用链式法则（Chain Rule）：


可以想象从另外一个角度看这个事情：现在有另外一个神经元，把forward的过程逆向过来,其中${\sigma }^{\prime }(z)$是常数，因为它在向前传播的时候就已经确定了。

• 如果$\frac{\partial l}{\partial z^{\prime }}$和$\frac{\partial l}{\partial z^{\prime \prime }}$是最后一层的隐藏层，也就是就是y1与y2是输出值，那么直接计算就能得出结果。
  
• 如果不是最后一层，计算$\frac{\partial l}{\partial z^{\prime }}$和$\frac{\partial l}{\partial z^{\prime \prime }}$的话就需要继续往后一直通过链式法则算下去。
  
  对于这个问题，我们要继续计算后面绿色的$\frac{\partial l}{\partial z_a}$和$\frac{\partial l}{\partial z_b}$,然后通过继续乘$w_5$和$w_6$得到$\frac{\partial l}{\partial z^{\prime }}$，但是要是$\frac{\partial l}{\partial z_a}$和$\frac{\partial l}{\partial z_b}$都不知道，那么我们就继续往后面层计算，一直到碰到输出值，得到输出值之后再反向往输入那个方向走。
  示如下图：
  
  我们可以从最后一个$\frac{\partial l}{\partial z_5}$和$\frac{\partial l}{\partial z_6}$看，因为$\frac{\partial l}{\partial z_a}$和$\frac{\partial l}{\partial z_b}$比较容易通过output求出来，然后继续往前求$\frac{\partial l}{\partial z_3}$和$\frac{\partial l}{\partial z_4}$，再继续求$\frac{\partial l}{\partial z_1}$和$\frac{\partial l}{\partial z_2}$……
  最后我们就得到下图的结果：
  
• 实际上进行Backward Pass时候和向前传播的计算量差不多。