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日积一步3（求解点到平面二次曲线的最近距离）_求一条曲线上的点到另一条曲线最近

作者：IT小白 | 2024-05-13 08:40:02

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求一条曲线上的点到另一条曲线最近

目的：已知平面二次曲线的函数为 $f(x)=ax^{2}+bx+c$ ,平面上的一点的坐标为 $M(x_{m},y_{m})$ ,求点M到曲线f的最短距离。

方法一：通过几何关系直接求解

通过几何知识可以知道，曲线上与点M最近的那一点的切线方向肯定与该点与点M的连线方向垂直，也就是说两个向量的点积为零。方程的解既是我们需要的曲线上点的坐标值，但是直接方程的结果比较困难，所以可以使用二分查找的方式进行求解，二分查找的范围是 $\left [ min\left \{ -b/2a,x_{m} \right \},max\left \{ -b/2a,x_{m} \right \} \right ]$

方法二：求解点M与线上一点的距离的极值，即函数 $g(x)=(x-x_{m})^{2}+(f(x)-y_{m})^{2}$ 的最小值，由几何图形可知最优解只有一个，所以函数g(x)的极值中必有一个是最小值。

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