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算法之分治与回溯_回溯法、分解法的异同

作者：IT小白 | 2024-06-05 13:42:59

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回溯法、分解法的异同

1.递归

（1）程序调用自身的编程技巧称为递归（ recursion）

public static void show() {

show();

}

（2）它通常把一个大型复杂的问题层层转化为一个与原问题相似的规模较小的问题来求解，递归策略只需少量的程序就可描述出解题过程所需要的多次重复计算，大大地减少了程序的代码量。

（3）一般来说，递归需要有边界条件、递归前进段和递归返回段。当边界条件不满足时，递归前进；当边界条件满足时，递归返回。

2.分治算法

（1）分治算法就是将原问题划分成n个规模较小，并且结构与原问题相似的子问题，递归地解决这些子问题，然后再合并其结果，就得到原问题的解。

（2）分治算法的递归实现中，每一层递归都会涉及这样三个操作：

         分解：将原问题分解成一系列子问题

         解决：递归地求解各个子问题，若子问题足够小，则直接求解

         合并：将子问题的结果合并成原问题

（3）分治算法能解决的问题，一般需要满足下面这几个条件：

         原问题与分解成的小问题具有相同的模式

         原问题分解成的子问题可以独立求解，子问题之间没有相关性

         具有分解终止条件，也就是说，当问题足够小，可以直接求解

         可以将子问题合并成原问题，而这个合并操作的复杂度不能太高，否则就起不到减小算法总体复杂度的效果了

3.回溯算法

       回溯算法实际上是一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就回退再走的技术称为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯”点。许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。

代码实现

1.前n项求和问题

  1. package p4.分治回溯;
  2. //前n项求和问题
  3. public class RecursionDemo02 {
  4.     public static void main(String[] args) {
  5.         int ret = f(100);
  6.         System.out.println(ret);
  7.     }
  8.  
  9.     private static int f(int n) {
  10.         if (n == 1) {
  11.             return 1;
  12.         }
  13.         return f(n - 1) + n;
  14.     }
  15. }

2.斐波那契数列问题

  1. package p4.分治回溯;
  2. //斐波那契数列问题
  3. public class RecursionDemo03 {
  4.     public static void main(String[] args) {
  5.         int ret = f(5);
  6.         System.out.println(ret);
  7.     }
  8.  
  9.     private static int f(int x) {
  10.         if (x == 1 || x == 2) {
  11.             return 1;
  12.         }
  13.         return f(x - 1) + f(x - 2);
  14.     }
  15. }

3.二分查找 折半查找

  1. package p4.分治回溯;
  2. //二分查找 折半查找
  3. public class RecursionDemo04 {
  4.     private static int count = 0;
  5.     public static void main(String[] args) {
  6.         int[] arr = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15};
  7.         int index = binarySearch(arr,0,arr.length - 1,13);
  8.         System.out.println(index);
  9.         System.out.println(count);
  10.     }
  11.     //在数组arr中 L~R区间内进行二分搜索查找key的角标
  12.     private static int binarySearch(int[] arr, int L, int R, int key) {
  13.         count++;
  14.         if (L > R) {  //元素key不存在
  15.             return -1;
  16.         }
  17.         int M = (L + R) / 2;
  18.         if (arr[M] == key) {
  19.             return M;
  20.         }
  21.         if (arr[M] < key) {
  22.             return binarySearch(arr,M + 1,R,key);
  23.         } else {
  24.             return binarySearch(arr,L,M - 1,key);
  25.         }
  26.     }
  27. }

4.文件查找

  1. package p4.分治回溯;
  2.  
  3. import java.io.File;
  4.  
  5. //文件查找
  6. public class RecursionDemo05 {
  7.     public static void main(String[] args) {
  8.         File dir = new File("C:\\Users\\32519\\Desktop\\DS");
  9.         traversal(dir);
  10.     }
  11.  
  12.     private static void traversal(File dir) {
  13.         File[] files = dir.listFiles();
  14.         if (files.length == 0) {
  15.             return;
  16.         }
  17.         for (File file : files) {
  18.             if (file.isFile()) {
  19.                 System.out.println(file.getName());
  20.             } else {
  21.                 System.out.println("【" + file.getName() + "】");
  22.                 traversal(file);
  23.             }
  24.         }
  25.     }
  26. }

5.全排列问题

  1. package p4.分治回溯;
  2.  
  3. import java.util.HashSet;
  4.  
  5. //全排列问题
  6. public class FullPermutation {
  7.     public static void main(String[] args) {
  8.         String s = "ABC";
  9.         char[] arr = s.toCharArray();
  10.         HashSet<String> set = new HashSet<>();
  11.         permutation(set, arr, 0, arr.length - 1);
  12.         System.out.println(set);
  13.     }
  14.  
  15.     private static void permutation(HashSet<String> set, char[] arr, int from, int to) {
  16.         if (from == to) {
  17.             set.add(String.valueOf(arr));   //[A,B,C] => "ABC"
  18.         } else {
  19.             for (int i = from; i <= to; i++) {
  20.                 swap(arr, i, from);
  21.                 permutation(set, arr, from + 1, to);
  22.                 swap(arr, i, from);
  23.             }
  24.         }
  25.     }
  26.  
  27.     private static void swap(char[] arr, int i, int j) {
  28.         char temp = arr[i];
  29.         arr[i] = arr[j];
  30.         arr[j] = temp;
  31.     }
  32. }

6.棋盘覆盖问题

  1. package p4.分治回溯;
  2.  
  3. import java.util.Scanner;
  4.  
  5. //棋盘覆盖问题
  6. public class ChessBoardCoverage {
  7.     private static int BOARY_SIZE = 8;
  8.     private static int[][] board = new int[BOARY_SIZE][BOARY_SIZE];
  9.     //代表颜色 同一组L骨牌 编号应该是一样的
  10.     private static int title = 0;  //0就是特殊方格的存在
  11.  
  12.     public static void main(String[] args) {
  13.         Scanner input = new Scanner(System.in);
  14.         System.out.print(">>>请输入特殊方格的角标信息: ");
  15.         //dr dc 指的是特殊方格的坐标
  16.         int dr = input.nextInt();
  17.         int dc = input.nextInt();
  18.  
  19.         chessBoard(0,0,dr,dc,BOARY_SIZE);
  20.         printBoard();
  21.     }
  22.  
  23.     private static void printBoard() {
  24.         for (int i = 0; i < BOARY_SIZE; i++) {
  25.             for (int j = 0; j < BOARY_SIZE; j++) {
  26.                 System.out.print(board[i][j] + "\t");
  27.             }
  28.             System.out.println();
  29.         }
  30.     }
  31.  
  32.     //在size*size的矩阵中 以tr tc为四部分子矩阵的基点 dr dc是特殊矩阵的位置 进行填充
  33.     private static void chessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size) {
  34.         //判断递归结束 如果尺寸为1 则不可继续拆分 则返回 归
  35.         if (size == 1) {
  36.             return;
  37.         }
  38.  
  39.         //该层要填充L型骨牌 编号是一致的
  40.         int num = ++title;
  41.         //该层要继续分四个部分 每个部分的尺寸是多少
  42.         int s = size / 2;
  43.  
  44.         //判断特殊方格在四个部分中 那个部分里
  45.  
  46.         //左上
  47.         if (dr < tr + s && dc < tc + s) {
  48.             chessBoard(tr, tc, dr, dc, s);
  49.         } else {
  50.             board[tr + s - 1][tc + s - 1] = num;
  51.             chessBoard(tr,tc,tr + s - 1,tc + s - 1,s);
  52.         }
  53.  
  54.         //右上
  55.         if (dr < tr + s && dc >= tc + s) {
  56.             chessBoard(tr, tc + s, dr, dc, s);
  57.         } else {
  58.             board[tr + s - 1][tc + s] = num;
  59.             chessBoard(tr,tc + s,tr + s - 1,tc + s,s);
  60.         }
  61.  
  62.         //左下
  63.         if (dr >= tr + s && dc < tc + s) {
  64.             chessBoard(tr + s, tc, dr, dc, s);
  65.         } else {
  66.             board[tr + s][tc + s - 1] = num;
  67.             chessBoard(tr + s,tc,tr + s,tc + s - 1,s);
  68.         }
  69.  
  70.         //右下
  71.         if (dr >= tr + s && dc >= tc + s) {
  72.             chessBoard(tr + s, tc + s, dr, dc, s);
  73.         } else {
  74.             board[tr + s][tc + s] = num;
  75.             chessBoard(tr + s,tc + s,tr + s,tc + s,s);
  76.         }
  77.     }
  78. }

7.汉诺塔问题

  1. package p4.分治回溯;
  2. //汉诺塔问题
  3. public class Hanoi {
  4.     public static void main(String[] args) {
  5.         String x = "X";
  6.         String y = "Y";
  7.         String z = "Z";
  8.         hanoi(3,x,y,z);
  9.     }
  10.  
  11.     private static void hanoi(int n, String begin, String mid, String end) {
  12.         if (n == 1) {
  13.             System.out.println(begin + "->" + end);
  14.         } else {
  15.             hanoi(n - 1,begin,end,mid);
  16.             System.out.println(begin + "->" + end);
  17.             hanoi(n - 1,mid,begin,end);
  18.         }
  19.     }
  20. }

8.迷宫问题

  1. package p4.分治回溯;
  2.  
  3. import p3.链式结构.LinkedList;
  4.  
  5. //迷宫问题
  6. public class Maze {
  7.     private static int[][] maze = {
  8.             {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1},
  9.             {0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1},
  10.             {1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1},
  11.             {1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1},
  12.             {1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1},
  13.             {1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1},
  14.             {1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1},
  15.             {1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0},
  16.             {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}
  17.     };
  18.     //入口信息
  19.     private static int enterX = 1;
  20.     private static int enterY = 0;
  21.     //出口信息
  22.     private static int exitX = 7;
  23.     private static int exitY = 8;
  24.     //路径访问状态表
  25.     private static boolean[][] visited = new boolean[9][9];
  26.     //方向的变化量
  27.     private static int[][] direction = {
  28.             {-1, 0},{0, 1},{1, 0},{0, -1}
  29.     };
  30.     //存储路径的栈
  31.     private static LinkedList<String> stack = new LinkedList<>();
  32.  
  33.     public static void main(String[] args) {
  34.         boolean flag = go(enterX, enterY);
  35.         if (flag) {
  36.             for (String path : stack) {
  37.                 System.out.println(path);
  38.             }
  39.         } else {
  40.             System.out.println("迷宫不通! ");
  41.         }
  42.     }
  43.     //以x,y为入口 看是否能够向下找到出口 返回false找不到
  44.     private static boolean go(int x, int y) {
  45.         stack.push("(" + x + "," + y + ")");
  46.         visited[x][y] = true;
  47.         if (x == exitX && y == exitY) {
  48.             return true;
  49.         }
  50.         //考虑四个方向 上 右 下 左
  51.         for (int i = 0; i < direction.length; i++) {
  52.             int newX = direction[i][0] + x;
  53.             int newY = direction[i][1] + y;
  54.             if (isInArea(newX,newY) && isRoad(newX,newY) && !visited[newX][newY]) {
  55.                 if (go(newX,newY)) {
  56.                     return true;  //某一个方向能通 则向上返回true 表示此层次x y能通
  57.                 }
  58.             }
  59.         }
  60.         stack.pop();
  61.         return false;  //四个方向都不通 则向上返回false 表示此次层x y 不通
  62.     }
  63.  
  64.     private static boolean isRoad(int x, int y) {
  65.         return maze[x][y] == 0;
  66.     }
  67.  
  68.     private static boolean isInArea(int x, int y) {
  69.         return x >= 0 && x < 9 && y >= 0 && y < 9;
  70.     }
  71. }

9.N皇后问题

  1. package p4.分治回溯;
  2. //N皇后问题
  3. public class NQueen {
  4.     private static int count = 0;   //记录解的个数
  5.     private static final int N = 8; //N皇后 矩阵的尺寸
  6.     private static int[][] arr = new int[N][N]; //棋盘数据 0表示空 1表示皇后
  7.  
  8.     public static void main(String[] args) {
  9.         queen(0);
  10.     }
  11.     //递归的解决row角标行 皇后的问题 如果row == N 说明一个解就出来了
  12.     private static void queen(int row) {
  13.         if (row == N) {
  14.             count++;
  15.             System.out.println("第" + count + "个解：");
  16.             printArr();
  17.         } else {
  18.             //遍历当前行的列
  19.             for (int col = 0; col < N; col++) {
  20.                 if (!isDangerous(row,col)) {
  21.                     //每次要放置皇后的时候 都先对该行进行清空
  22.                     for (int c = 0; c < N; c++) {
  23.                         arr[row][c] = 0;
  24.                     }
  25.                     arr[row][col] = 1;
  26.                     queen(row + 1);
  27.                 }
  28.             }
  29.         }
  30.     }
  31.  
  32.     private static boolean isDangerous(int row, int col) {
  33.         //向上
  34.         for (int r = row - 1; r >= 0; r--) {
  35.             if (arr[r][col] == 1) {
  36.                 return true;
  37.             }
  38.         }
  39.         //左上
  40.         for (int r = row - 1,c = col -1;r >= 0 && c >= 0; r--,c--) {
  41.             if (arr[r][c] == 1) {
  42.                 return true;
  43.             }
  44.         }
  45.         //右上
  46.         for (int r = row - 1,c = col + 1; r >= 0 && c < N; r--,c++) {
  47.             if (arr[r][c] == 1) {
  48.                 return true;
  49.             }
  50.         }
  51.         return false;
  52.     }
  53.  
  54.     private static void printArr() {
  55.         for (int i = 0; i < N; i++) {
  56.             for (int j = 0; j < N; j++) {
  57.                 System.out.print(arr[i][j] + "");
  58.             }
  59.             System.out.println();
  60.         }
  61.     }
  62. }

10.数独

  1. package p4.分治回溯;
  2.  
  3. import java.io.BufferedReader;
  4. import java.io.File;
  5. import java.io.FileReader;
  6. import java.io.IOException;
  7.  
  8. //数独
  9. public class Sudoku {
  10.     private static int i = 0;
  11.     private static int [][] board = new int[9][9];
  12.  
  13.     public static void main(String[] args) throws IOException {
  14.         readFile("sudoku_data_01.txt");
  15.         solve(0, 0);
  16.     }
  17.  
  18.     //求解x-y格子的解 再继续向下递归求解下一个格子
  19.     //本质求多个解 但实际 数独问题只能有一个解 如果没解 程序啥也不输出！
  20.     private static void solve(int row, int col) {
  21.         if (row == 9) {
  22.             i++;
  23.             System.out.println("===========" + i + "==========");
  24.             printBoard();
  25.             //System.exit(0);
  26.         } else {
  27.             if (board[row][col] == 0) {
  28.                 //需要填数字1~9
  29.                 for (int num = 1; num <= 9; num++) {
  30.                     if (!isExist(row, col, num)) {
  31.                         board[row][col] = num;
  32.                         //解决下一个格子
  33.                         solve(row + (col + 1) / 9,(col + 1) % 9);
  34.                     }
  35.                     //如果此处没解 必须清零
  36.                     board[row][col] = 0;
  37.                 }
  38.             } else {
  39.                 //已经存在一个已知数字 直接跳过去解决下一个格子
  40.                 solve(row + (col + 1) / 9, (col + 1) % 9);
  41.             }
  42.         }
  43.     }
  44.  
  45.     private static boolean isExist(int row, int col, int num) {
  46.         //同行
  47.         for (int c = 0; c < 9; c++) {
  48.             if (board[row][c] == num) {
  49.                 return true;
  50.             }
  51.         }
  52.  
  53.         //同列
  54.         for (int r = 0; r < 9; r++) {
  55.             if (board[r][col] == num) {
  56.                 return true;
  57.             }
  58.         }
  59.  
  60.         //同九宫 3*3
  61.         int rowMin = 0;
  62.         int colMin = 0;
  63.  
  64.         int rowMax = 0;
  65.         int colMax = 0;
  66.  
  67.         if (row >= 0 && row <= 2) {
  68.             rowMin = 0;
  69.             rowMax = 2;
  70.         }
  71.         if (row >= 3 && row <= 5) {
  72.             rowMin = 3;
  73.             rowMax = 5;
  74.         }
  75.         if (row >= 6 && row <= 8) {
  76.             rowMin = 6;
  77.             rowMax = 8;
  78.         }
  79.         if (col >= 0 && col <= 2) {
  80.             colMin = 0;
  81.             colMax = 2;
  82.         }
  83.         if (col >= 3 && col <= 5) {
  84.             colMin = 3;
  85.             colMax = 5;
  86.         }
  87.         if (col >= 6 && col <= 8) {
  88.             colMin = 6;
  89.             colMax = 8;
  90.         }
  91.         for (int r = rowMin; r <= rowMax; r++) {
  92.             for (int c = colMin; c <= colMax; c++) {
  93.                 if (board[r][c] == num) {
  94.                     return true;
  95.                 }
  96.             }
  97.         }
  98.         return false;
  99.     }
  100.  
  101.     private static void printBoard() {
  102.         for (int i = 0 ; i < 9; i++) { 
  103.             for (int j = 0; j < 9; j++) {
  104.                 System.out.print(board[i][j] + " ");
  105.             }
  106.             System.out.println();
  107.         }
  108.     }
  109.  
  110.     private static void readFile(String fileName) throws IOException {
  111.         File file = new File(fileName);
  112.         FileReader fr = new FileReader(file);
  113.         BufferedReader br = new BufferedReader(fr);
  114.         String line = null;
  115.         int row = 0;
  116.         while ((line = br.readLine()) != null) {
  117.             for (int col = 0; col < 9; col++) {
  118.                 board[row][col] = Integer.parseInt(line.charAt(col) + "");
  119.             }
  120.             row++;
  121.         }
  122.     }
  123. }

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