数据结构-堆（Heap）、堆排序_heap排序

一、堆（Heap）是一种特殊的树

• 堆是一个完全二叉树（除了最后一层，其他层的节点个数都是满的，最后一层的节点都靠左排列）；
• 堆中每一个节点的值都必须大于等于（或小于等于）其子树中每个节点的值。

对于每个节点的值都大于等于子树中每个节点值的堆，我们叫做“大顶堆”。
对于每个节点的值都小于等于子树中每个节点值的堆，我们叫做“小顶堆”。

二、堆的存储

完全二叉树适合用数组存储，所以堆也适合用数组存储。

因此可得，数组下标是 i 的元素，它的父节点以及左右子节点的位置分别是：
parent(i) = floor((i - 1)/2)【向下取整】
left(i) = 2i + 1
right(i) = 2i + 2

三、堆中比较重要的两个操作

堆中比较重要的两个操作是插入一个数据和删除堆顶元素。这两个操作都要用到堆化（heapify）。
1）插入一个数据的时候，我们把新插入的数据放到数组的最后，然后从下往上堆化；

原本存储[ 10, 7, 2, 5, 1 ]，插入16后[ 10, 7, 2, 5, 1，16 ]
1

在数组末尾插入新数据16后不满足堆，要进行堆化（交换），向上堆化。16与2比较交换，16继续向上和10比较交换，最后蓝色状态满足堆，插入结束。

2）删除堆顶数据的时候，我们把数组中的最后一个元素放到堆顶，然后从上往下堆化。这两个操作时间复杂度都是 O(logn)。

原本存储[ 10, 7, 2, 5, 1 ]，删除10后[ 1, 7, 2, 5]
1

删除堆顶元素，将数组末尾的数交换上来，但是目前不满足堆的特点了，所以也要进行堆化（交换），向下堆化。然后比较1和7（7和2选择较大的放到堆顶，所以此处选择1和7交换），继续堆化，1和5交换，直到该节点没有任何子节点或者它比两个子节点都要大，即图中灰色状态满足堆，结束。

小结：完全二叉树的高度为log2ⁿ ，因此，堆的删除、插入元素时间复杂度为 O(logn)。

四、堆排序

堆排序包括建堆和排序两个操作，建堆和排序。

1. 建堆
   借助在堆中插入一个元素的思路。尽管数组中包含 n 个数据，假设起初堆中只包含一个数据，然后依次将n-1个数据依次插入到堆中，这样，建堆结束之后，数组中的数据已经是按照大顶堆的特性来组织的。时间复杂度是 O(n)。
2. 排序
   对于完全二叉树来说，下标从 n/2​ 到 n-1 的节点都是叶子节点，如图，3214为叶子节点，存储下标从8/2到7。因为叶子节点不需要堆化，每个节点堆化的时间复杂度是 O(logn)，那 n/2​个节点堆化的总时间复杂度就是 O(nlogn) 。
   

小结：堆排序包括建堆和排序两个操作，建堆和排序。建堆过程的时间复杂度是 O(n)，排序过程的时间复杂度是 O(nlogn)，所以，堆排序整体的时间复杂度是 O(nlogn)。

注意：堆排序和快速排序都是 O(nlogn)的算法，甚至堆排序更稳定，但是实际应用快速排序会比较多：原因是对堆顶节点进行堆化，会依次访问数组下标是 0，1，3 的元素，而不是像快速排序那样，局部顺序访问，所以，这样对 CPU 缓存是不友好的。另外堆排序比快速排序交换次数多，可以通过程序打印比较次数验证。

五、堆的典型应用

1、堆排序
2、优先级队列
3、求动态集合中位数
4、求第K大元素
5、cpu相应大于99%的应用等等