跟我一起数据挖掘（12）——特征值和特征向量

矩阵的特征值和特征向量

设是一个阶方阵，是一个数，如果方程

(1)

存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特征向量．

（1）式也可写成，

(2)

这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式

, (3)

即

上式是以为未知数的一元次方程，称为方阵的特征方程．其左端是的次多项式，记作，称为方阵的特征多项式．

显然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵有个特征值．

设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系，不难证明

（ⅰ）

（ⅱ）

若为的一个特征值，则一定是方程的根, 因此又称特征根，若为方程的重根，则称为的重特征根．方程的每一个非零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：

第一步：计算的特征多项式；

第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；

第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：

的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是

（其中是不全为零的任意实数）．

使用matlab求特征值和特征向量

>>clc;clear;close; 
>>A=[3,-1,-2;2,0,-2;2,-1,-1]; 
>>[X,B]=eig(A) %求矩阵A的特征值和特征向量,其中B的对角线元素是特征值, 
%X的列是相应的特征向量 最后的结果是:
X =
    0.7276   -0.5774    0.6230
    0.4851   -0.5774   -0.2417
    0.4851   -0.5774    0.7439
B =
    1.0000         0         0
         0    0.0000         0
         0         0    1.0000

关于特征值和特征向量的定理

定理1 属于不同特征值的特征向量一定线性无关.

相似矩阵

设、都是阶方阵，若存在满秩矩阵，使得