Python数学建模-2.7SciPy库_pythonscipy库求非线性方程

SciPy库是Python中一个非常重要的科学计算库，它基于NumPy库，提供了大量的数学、科学以及工程计算中需要的函数和方法。SciPy库的主要子模块包括最优化、线性代数、积分、插值、特殊函数、快速傅里叶变换、信号处理和图像处理、常微分方程求解和其他科学与工程中常用的计算。

1.SciPy库的主要特点和功能：

1. 优化和最小化：SciPy提供了多种优化算法，如最小二乘拟合、约束和非约束优化等，可用于解决各种优化问题。

2. 线性代数：SciPy的线性代数模块提供了多种矩阵运算，如矩阵分解、特征值和特征向量计算等。

3. 积分和微分：SciPy提供了数值积分和微分的函数，可以计算定积分、不定积分以及函数的导数。

4. 插值：插值模块允许用户根据已知的数据点来估计未知数据点的值，提供了一维和多维插值方法。

5. 信号处理：SciPy的信号处理模块提供了各种滤波器设计、频谱分析和波形生成等功能。

6. 特殊函数：SciPy包含了大量的数学特殊函数，如伽玛函数、贝塞尔函数等，这些函数在数学建模和工程计算中非常有用。

7. 统计：SciPy的统计模块提供了描述性统计、假设检验、概率分布等多种统计功能。

例如：

import scipy  
from scipy import optimize  
from scipy.linalg import inv, eig  
from scipy.integrate import quad  
from scipy.interpolate import interp1d  
# ... 其他导入和使用SciPy功能的代码 ...

注意：要使用SciPy库，首先需要安装它。在Python环境中，你可以使用pip命令来安装。

2.SciPy库的模块功能表

 

除此之外，SciPy库还包含其他模块，如scipy.spatial（提供空间相关的数据结构和算法）和scipy.sparse（提供大型稀疏矩阵计算中的各种算法）等。

SciPy库中的每个模块都包含更多详细的函数和算法，可以根据具体需求进行查阅和使用。同时，由于SciPy库不断更新和发展，新的功能和模块也可能不断被添加进来。因此，建议查阅最新的SciPy官方文档以获取最全面和准确的信息。

3.SciPy基本操作

SciPy库是一个功能强大的Python库，主要用于数学、科学和工程计算。它提供了大量的函数和方法，支持各种基本的和高级的操作。以下是SciPy的一些基本操作，并附带相关例子进行说明：

1.数值积分： 

• SciPy的integrate模块提供了数值积分的函数。
• 例子：计算函数sin(x)在[0, pi]区间上的定积分值。

import numpy as np  
from scipy.integrate import quad  
 
def f(x):  
    return np.sin(x)  
 
integral_value, error = quad(f, 0, np.pi)  
print(integral_value)  # 输出定积分值

 输出结果：

2.0

补充：

SciPy的integrate模块提供了多种数值积分方法，以满足不同积分需求：

1. 一重积分：使用quad函数进行一重积分。例如，对函数f(x)在给定范围a到b内进行积分，可以使用scipy.integrate.quad(f, a, b)。其中，f是待积分的函数，a和b分别是积分的下限和上限。
2. 多重积分：SciPy也支持多重积分，如二重积分、三重积分等，虽然具体的函数和使用方式可能会根据积分的维度和复杂性有所不同。
3. 特殊积分方法：SciPy的integrate模块还提供了其他特殊的积分方法，如梯形法(trapz)、Simpson法、Romberg法、Gauss-Kronrod法等。这些方法可以根据实际情况和精度需求进行选择。

在使用SciPy的integrate模块时，我们需要注意的是，积分的精度往往取决于所选择的积分方法以及被积分函数的复杂程度。更复杂的函数可能需要使用更高精度的积分方法以获得更准确的结果。

2.线性代数操作：

• SciPy的linalg模块提供了线性代数函数，用于解决线性方程组、矩阵分解等问题。
• 例子：求解一个简单的线性方程组。

 

import numpy as np  
from scipy.linalg import solve  
 
# 定义系数矩阵和常数向量  
A = np.array([[3, 2], [1, -1]], dtype=float)  
b = np.array([8, -3], dtype=float)  
 
# 使用solve函数求解线性方程组  
x = solve(A, b)  
print(x)  # 输出解向量

3.求解非线性方程：

方法1：scipy.optimize.root：用于求解非线性方程组的根。它支持多种求解器，如'hybr'（混合方法）、'lm'（Levenberg-Marquardt方法）等。

例子：求解非线性方程组 {x**2 + y**2 - 4 = 0, x - y - 1 = 0}

# 导入scipy库中的optimize模块的root函数，用于求解非线性方程组的根
from scipy.optimize import root
# 导入numpy库，用于数值计算
import numpy as np
 
 
# 定义一个函数system_of_equations，用于描述非线性方程组
# vars是一个包含方程组未知数的元组或列表
def system_of_equations(vars):
    # 解包vars得到x和y两个变量
    x, y = vars
    # 定义第一个方程 x^2 + y^2 = 4
    eq1 = x ** 2 + y ** 2 - 4
    # 定义第二个方程 x - y = 1
    eq2 = x - y - 1
    # 返回一个包含两个方程的列表
    return [eq1, eq2]
 
 
# 设置初始猜测值，用于root函数的起始点
initial_guess = [1, 1]
 
# 调用root函数，传入方程组函数、初始猜测值和求解方法（这里使用混合方法'hybr'）
sol = root(system_of_equations, initial_guess, method='hybr')
 
# 检查root函数的返回值，判断是否成功找到解
if sol.success:
    # 如果成功，打印找到的解
    print("找到解：", sol.x)
else:
    # 如果失败，打印错误信息
    print("未找到解：", sol.message)

输出结果：

找到解： [1.82287566 0.82287566]

方法2：scipy.optimize.fsolve：用于求解非线性方程组的根。它是scipy.optimize.root的一个旧版本，但可能更适合某些简单的用例。

例子：与上述root例子相同的问题，但使用fsolve。

from scipy.optimize import fsolve  
import numpy as np  
  
# 定义方程组  
def equations(vars):  
    x, y = vars  
    eq1 = x**2 + y**2 - 4  
    eq2 = x - y - 1  
    return [eq1, eq2]  
  
# 初始猜测值  
initial_guess = [1, 1]  
  
# 求解方程组  
sol = fsolve(equations, initial_guess)  
  
# 输出结果  
print("找到解:", sol)

输出结果：

找到解: [1.82287566 0.82287566]

方法3：scipy.optimize.minimize 或 scipy.optimize.minimize_scalar：如果非线性方程是以最小化某个函数的形式给出的，那么可以使用这些函数来找到最小值（即方程的根）。

例子：求解非线性方程 x**3 - x - 1 = 0 作为最小化 f(x) = (x**3 - x - 1)**2 的问题。

from scipy.optimize import minimize  
import numpy as np  
  
# 定义目标函数  
def objective(x):  
    return (x**3 - x - 1)**2  
  
# 初始猜测值  
initial_guess = 1.0  
  
# 求解最小化问题  
sol = minimize(objective, initial_guess)  
  
# 输出结果  
if sol.success:  
    print("找到解:", sol.x[0])  
else:  
    print("未找到解:", sol.message)

输出结果：

找到解: 1.3247179506107587

4.插值：

• SciPy的interpolate模块提供了插值函数，用于估计未知数据点的值。
• 例子：一维插值。

from scipy.interpolate import interp1d  
import numpy as np  
 
# 定义已知数据点  
x = np.linspace(0, 10, num=11, endpoint=True)  
y = np.cos(-x**2/9.0)  
 
# 创建插值函数  
f = interp1d(x, y)  
 
# 使用插值函数估计新数据点的值  
xnew = np.linspace(0, 10, num=41, endpoint=True)  
ynew = f(xnew)  
print(ynew)  # 输出插值结果

 输出结果：

[ 1.          0.99845838  0.99691675  0.99537513  0.99383351  0.97108755
  0.94834159  0.92559563  0.90284967  0.81221283  0.72157599  0.63093915
  0.54030231  0.35385005  0.16739779 -0.01905446 -0.20550672 -0.38776657
 -0.57002643 -0.75228628 -0.93454613 -0.86432051 -0.79409488 -0.72386925
 -0.65364362 -0.32313274  0.00737814  0.33788902  0.6683999   0.67040116
  0.67240241  0.67440367  0.67640492  0.27952113 -0.11736267 -0.51424647
 -0.91113026 -0.65452771 -0.39792516 -0.1413226   0.11527995]

5.优化和最小化：

• SciPy的optimize模块提供了优化算法，用于求解最小值问题、拟合数据等。
• 例子：使用最小二乘法拟合一组数据。

from scipy.optimize import curve_fit  
import numpy as np  
 
# 定义拟合函数形式  
def func(x, a, b, c):  
    return a * np.exp(-b * x) + c  
 
# 定义已知数据点  
xdata = np.linspace(0, 4, 50)  
y = func(xdata, 2.5, 1.3, 0.5)  
y_noise = 0.2 * np.random.normal(size=xdata.size)  
ydata = y + y_noise  
 
# 使用curve_fit函数进行拟合  
popt, pcov = curve_fit(func, xdata, ydata)  
print(popt)  # 输出拟合参数

 输出结果：

[2.40776907 1.13109588 0.44802062]

举例：求下列矩阵的最大模特征值及对应的特征向量：

from scipy.sparse.linalg import eigs
import numpy as np
 
a = np.array([[1, 2, 3], [2, 1, 3], [3, 3, 6]], dtype=float)  #必须加float,否则出错
b, c = np.linalg.eig(a)
d, e = eigs(a, 1)
print('最大模特征值为：', d)
print('对应的特征向量为：\n', e)

输出结果：

最大模特征值为： [9.+0.j]
对应的特征向量为：
 [[0.40824829+0.j]
 [0.40824829+0.j]
 [0.81649658+0.j]] 

6.统计：

• SciPy的stats模块提供了统计功能，如概率分布、假设检验等。
• 例子：计算标准正态分布的累积分布函数值。

from scipy.stats import norm  
 
# 计算标准正态分布在x=0.5处的累积分布函数值  
cdf_value = norm.cdf(0.5)  
print(cdf_value)  # 输出CDF值

输出结果：

0.6914624612740131 

这些例子只是SciPy库功能的一小部分。实际上，SciPy库包含大量的函数和方法，涵盖了数学、科学和工程计算的多个领域。为了充分利用SciPy库的功能，建议查阅最新的SciPy官方文档以获取更详细和全面的信息，我也会在后续的学习中与大家分享。