
rm(list = ls())
library(psych)
data <- USJudgeRatings
fa.parallel(USJudgeRatings[,-1], fa="pc", 
            n.iter=100,
            show.legend=FALSE, 
            main="Scree plot with parallel analysis")

判断注释：Kaiser-Harris准则建议保留特征值大于1的主成分，特征值小于1的成分所解释的方差比包含在单个变量中的方差更少。Cattell碎石检验则绘制了特征值与主成分数的图形。

结果解读；评价美国法官评分中要保留的主成分个数。碎石图（直线与 x 符号）、特征值大

于 1 准则（水平线）和 100 次模拟的平行分析（虚线）都表明保留一个主成分即可

2，提取主成分


principal(r, nfactors=, rotate=, scores=)  
r是相关系数矩阵或原始数据矩阵；
nfactors设定主成分数（默认为1）；
rotate指定旋转的方法（默认最大方差旋转（varimax））；
scores设定是否需要计算主成分得分（默认不需要）。

提取主成分


pc <- principal(USJudgeRatings[,-1], nfactors = 1)
pc

Principal Components Analysis
Call: principal(r = USJudgeRatings[, -1], nfactors = 1)
Standardized loadings (pattern matrix) based upon correlation matrix
      PC1   h2     u2 com
INTG 0.92 0.84 0.1565   1
DMNR 0.91 0.83 0.1663   1
DILG 0.97 0.94 0.0613   1
CFMG 0.96 0.93 0.0720   1
DECI 0.96 0.92 0.0763   1
PREP 0.98 0.97 0.0299   1
FAMI 0.98 0.95 0.0469   1
ORAL 1.00 0.99 0.0091   1
WRIT 0.99 0.98 0.0196   1
PHYS 0.89 0.80 0.2013   1
RTEN 0.99 0.97 0.0275   1

                 PC1
SS loadings    10.13
Proportion Var  0.92

Mean item complexity =  1
Test of the hypothesis that 1 component is sufficient.

The root mean square of the residuals (RMSR) is  0.04 
 with the empirical chi square  6.21  with prob <  1

结果解读：PC1栏包含了成分载荷，指观测变量与主成分的相关系数。如果提取不止一个主成分，那么还将会有PC2、PC3等栏。成分载荷（component loadings）可用来解释主成分的含义。此处可以看到，第一主成分（PC1）与每个变量都高度相关，也就是说，它是一个可用来进行一般性评价的维度。

h2 栏指成分公因子方差——主成分对每个变量的方差解释度。 u2 栏指成分唯一性 ——方差

无法被主成分解释的比例（ 1- h2 ）。例如，体能（ PHYS ） 80% 的方差都可用第一主成分来解释，

20% 不能。相比而言， PHYS 是用第一主成分表示性最差的变量。

SS loadings 行包含了与主成分相关联的特征值，指的是与特定主成分相关联的标准化后的

方差值（本例中，第一主成分的值为 10 ）。最后， Proportion Var 行表示的是每个主成分对整

个数据集的解释程度。此处可以看到，第一主成分解释了 11 个变量 92% 的方差。

3 ，主成分旋转

4 ，获取主成分得分

美国法官评分例子中，我们根据原始数据中的11个评分变量提取了一个主成分。


pc <-principal(USJudgeRatings[,-1], nfactors=1, score=TRUE)
head(pc$scores)

                      PC1
AARONSON,L.H.  -0.1857981
ALEXANDER,J.M.  0.7469865
ARMENTANO,A.J.  0.0704772
BERDON,R.I.     1.1358765
BRACKEN,J.J.   -2.1586211
BURNS,E.B.      0.7669406

当scores = TRUE时，主成分得分存储在principal()函数返回对象的scores元素中。

PC2 案例 PC1 + PC2

1，判断主成分的个数

数据格式


rm(list = ls())
library(psych)
#Harman23.cor数据集的例子，本数据集本身已经是相关系数矩阵
##确定主成分个数
fa.parallel(Harman23.cor$cov, n.obs=302, 
            fa="pc", 
            n.iter=100,
            show.legend=FALSE, 
            main="Scree plot with parallel analysis")
#结果提示
Parallel analysis suggests that the number of factors =  NA  
and the number of components =  2

2，提取主成分


pc <- principal(Harman23.cor$cov, 
                nfactors=2,##依据判断需要2个主成分
                rotate="none")
pc

Principal Components Analysis
Call: principal(r = Harman23.cor$cov, nfactors = 2, rotate = "none")
Standardized loadings (pattern matrix) based upon correlation matrix
                PC1   PC2   h2    u2 com
height         0.86 -0.37 0.88 0.123 1.4
arm.span       0.84 -0.44 0.90 0.097 1.5
forearm        0.81 -0.46 0.87 0.128 1.6
lower.leg      0.84 -0.40 0.86 0.139 1.4
weight         0.76  0.52 0.85 0.150 1.8
bitro.diameter 0.67  0.53 0.74 0.261 1.9
chest.girth    0.62  0.58 0.72 0.283 2.0
chest.width    0.67  0.42 0.62 0.375 1.7
                       PC1  PC2
SS loadings           4.67 1.77
Proportion Var        0.58 0.22
Cumulative Var        0.58 0.81
Proportion Explained  0.73 0.27
Cumulative Proportion 0.73 1.00
Mean item complexity =  1.7
Test of the hypothesis that 2 components are sufficient.
The root mean square of the residuals (RMSR) is  0.05 
Fit based upon off diagonal values = 0.99

第一主成分解释了身体测量指标 58%的方差，而第二主成分解释了 22% ，两者总共解释了 81%的方差。h2这一栏里面，两个主成分对高度变量解释了88%的方差，对于臂展变量解释了90%的方差。

载荷阵解释了成分和因子的含义。第一主成分与每个身体测量指标都正相关，看起来似乎是

一个一般性的衡量因子；第二主成分与前四个变量（ height 、 arm.span 、 forearm 和 lower.leg ）

负相关，与后四个变量（ weight 、 bitro.diameter 、 chest.girth 和 chest.width ）正相关，

因此它看起来似乎是一个长度 — 容量因子。但理念上的东西都不容易构建，当提取了多个成分时，

对它们进行旋转可使结果更具解释性，接下来我们便讨论该问题。

3 ，主成分旋转

旋转是一系列将成分载荷阵变得更容易解释的数学方法，它们尽可能地对成分去噪。旋转方

法有两种：使选择的成分保持不相关（正交旋转），和让它们变得相关（斜交旋转）。


rc <- principal(Harman23.cor$cov, 
                nfactors=2, 
                rotate="varimax")
rc

Principal Components Analysis
Call: principal(r = Harman23.cor$cov, nfactors = 2, rotate = "varimax")
Standardized loadings (pattern matrix) based upon correlation matrix
                RC1  RC2   h2    u2 com
height         0.90 0.25 0.88 0.123 1.2
arm.span       0.93 0.19 0.90 0.097 1.1
forearm        0.92 0.16 0.87 0.128 1.1
lower.leg      0.90 0.22 0.86 0.139 1.1
weight         0.26 0.88 0.85 0.150 1.2
bitro.diameter 0.19 0.84 0.74 0.261 1.1
chest.girth    0.11 0.84 0.72 0.283 1.0
chest.width    0.26 0.75 0.62 0.375 1.2
                       RC1  RC2
SS loadings           3.52 2.92
Proportion Var        0.44 0.37
Cumulative Var        0.44 0.81
Proportion Explained  0.55 0.45
Cumulative Proportion 0.55 1.00
Mean item complexity =  1.1
Test of the hypothesis that 2 components are sufficient.
The root mean square of the residuals (RMSR) is  0.05 
Fit based upon off diagonal values = 0.99

列的名字都从 PC 变成了 RC ，以表示成分被旋转。观察 RC1 栏的载荷，你可以发现第一主成分

主要由前四个变量来解释（长度变量）。 RC2 栏的载荷表示第二主成分主要由变量 5 到变量 8 来解

释（容量变量）。注意两个主成分仍不相关，对变量的解释性不变，这是因为变量的群组没有发

生变化。另外，两个主成分旋转后的累积方差解释性没有变化（ 81% ），变的只是各个主成分对

方差的解释度（成分 1 从 58% 变为 44% ，成分 2 从 22% 变为 37% ）。各成分的方差解释度趋同，准确

来说，此时应该称它们为成分而不是主成分（因为单个主成分方差最大化性质没有保留）

我们的最终目标是用一组较少的变量替换一组较多的相关变量，因此，你还需要获取每个观

测在成分上的得分。

4 ，获取主成分得分

当主成分分析基于相关系数矩阵时，原始数据便不可用了，也不可能获取每个观测的主成分

得分，但是你可以得到用来计算主成分得分的系数。在身体测量数据中，你有各个身体测量指标间的相关系数，但是没有305个女孩的个体测量值。


rc <- principal(Harman23.cor$cov, 
                nfactors = 2, 
                rotate = "varimax")
round(unclass(rc$weights),2)

               RC1   RC2
height          0.28 -0.05
arm.span        0.30 -0.08
forearm         0.30 -0.09
lower.leg       0.28 -0.06
weight         -0.06  0.33
bitro.diameter -0.08  0.32
chest.girth    -0.10  0.34
chest.width    -0.04  0.27

则相应的PC1和PC2主成分的计算公司如下：

principal函数和prcomp函数都是用于计算主成分分析（PCA）的函数，但它们之间有一些差异。

principal函数是psych包中的函数，它可以计算PCA以及其他因子分析和结构方程模型等多种分析方法。它的输出包括每个主成分的方差贡献率、成分载荷和得分等信息。
prcomp函数是stats包中的函数，它只能计算PCA。它的输出包括每个主成分的方差贡献率、成分载荷和得分等信息，与principal函数的输出类似。

除了输出结果的差异外，这两个函数在计算PCA时的算法也有所不同。prcomp函数使用的是标准的奇异值分解（SVD）算法，而principal函数使用的是最大似然估计法或最小残差法等不同的算法。

《R语言实战》

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