数据结构初阶--算法的时间复杂度和空间复杂度_时间复杂度为o((2^n)*n)

算法效率

算法运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源

衡量一个算法的好坏标准：

一般是从时间和空间两个维度来衡量的
时间复杂度主要衡量一个算法的 运行快慢
而空间复杂度主要衡量一个算法运行所 需要的额外空间

注：计算机发展早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅猛发展（摩尔定律），计算机的存储容量已经达到很高的程度（又大又便宜）。所以现在已经不特别关注一个算法的空间复杂度

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时间复杂度

时间复杂度的定义：

在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个 1️⃣ 函数，它定量 描述了该算法的运行时间。
一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是 不能算出来的，只有你把你的程序放在 2️⃣ 机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦。所以 我们不算时间，才有了时间复杂度这个分析方式。
一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例， 算法中的基本操作的 3️⃣ 执行次数，为算法的时间复杂度 。这里不是算法执行所耗费的实际时间，而是算法中的 基本操作的执行次数。
找到 某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度

注：

1️⃣算法是函数，但不是C语言里面用到的那种函数，而是数学中带有未知数的函数表达式

2️⃣举个例子，我们用冒泡排序法对100万个数进行排序，我们分别用10年前的2核CPU、2g内存的机器和今天8核CPU、8g内存的机器去跑，运行时间能一样么？故环境不同，具体运行时间就不同

3️⃣排序上面那个案例，算法一执行了100万次，算法二执行了100万*100万次，肯定算法一好。而且提一句，执行次数是循环次数，不是指令次数（++i,j++这种就是指令次数）

举例：

请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？

void Func1(int N)
{
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < N; ++i)
    {
        for (int j = 0; j < N; ++j)
        {
            ++count;
        }
    }
    for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
    {
        ++count;
    }
    int M = 10;
    while (M--)
    {
        ++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}

时间复杂度的函数式：Fun1(N)=N*N+2*N+10（你看，这个不就是个带有未知数N的函数表达式么）

实际我们计算时间复杂度时，我们其实并 不一定要计算精确的执行次数，而只需要 1️⃣ 大概执行次数，那么这里我们使用 2️⃣ 大O的渐进表示法。

注：

1️⃣我们仔细琢磨F(N)=N*N+2*N+10，我们会发现：N越大，F(N)中，2*N+10对值的影响越小

和上面一比较，发现确实N越大，2*N+10对值的影响越小

2️⃣大O的渐进表示法说白了就是估算，估算表达式中影响最大的那个。比如这个案例，F(N)的大O渐进表达式就是：O(N*N)

大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）用于描述函数渐进行为的数学符号

推导大O阶方法：

1️⃣用常数1取代运行时间中的所有加法常数
在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
如果最高阶项存在且不是1，则 2️⃣ 去除与这个项目相乘的常数，得到的结果就是大O阶
简单来说：大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数

3️⃣另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x

最好情况：1次找到

最坏情况：N次找到

平均情况：N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

示例一：2️⃣

void Func1(int N)
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
    {
        ++count;
    }
    int M = 10;
    while (M--)
    {
        ++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}

时间复杂度为：O(N)（2*N+10去掉10后再把N前相乘的常数去掉）

示例二：

void Func2(int N, int M) 
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < M; ++k)
    {
        ++count;
    }
    for (int k = 0; k < N; ++k)
    {
        ++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}

时间复杂度为：O(N+M)

注：一般情况下，时间复杂度计算时未知数都是用的N,但是也可以用M、K等其它的未知数表示

如果题目中提了以下信息，者需要进一步计算时间复杂度

• M远大于N，时间复杂度就是O(M)

• N远大于M，时间复杂度就是O(N)

• N和M差不多大，时间复杂度就是O(M)或O(N)

示例三：1️⃣

void Func3(int N)
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < 100; ++k)
    {
        ++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}

时间复杂度为：O(1)

注：并不是执行一次，而是表示运行常数次

示例四：计算strchr的时间复杂度？3️⃣

const char * strchr ( const char * str, int character );

注：strchr--库函数，作用是在字符串找字符，找到则返回对应地址（类似于遍历算法）

while (*str)
{
    if (*str == character)
        return str;
    else
        ++str;
}

图解：

注：当一个算法随着输入（这里是查找对象）的不同，而时间复杂度不同时。时间复杂度会做悲观的预期，看最坏的情况（这里最坏的情况是查找的对象是最后一个字符，运行N次）