内积知识点小记

import numpy as np
a = np.array([1,2])
b = np.array([3,4])
c = a @ b
# 11

e = np.array([[1,2],[3,4]])
f = np.array([[5,6],[7,8]])

g = e @ f
#array([[19, 22],[43, 50]])
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

内积，也称为点积或数量积，是数学中接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。以下是对内积的详细解释：

定义

• 对于两个向量a = [a₁, a₂,…, aₙ]和b = [b₁, b₂,…, bₙ]，它们的点积定义为：a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + … + aₙbₙ。
• 使用矩阵乘法，把（纵列）向量当作n×1 矩阵，点积也可以写为：a·b = (a^T) * b，这里的a^T指示矩阵a的转置。

性质

1. 对称性：a·b = b·a，即内积的结果与向量的顺序无关。
2. 线性性：(ka + lb)·c = ka·c + lb·c，其中k和l是常数。
3. 正定性：a·a ≥ 0，当且仅当a = 0时，a·a = 0。

应用

1. 计算向量的夹角和投影：通过计算两个向量的内积，可以得到它们的夹角，进而判断向量的正交性、平行性等。还可以计算向量在另一个向量上的投影，实现向量的分解和计算。
2. 计算向量的长度和距离：通过计算向量的模长，可以得到向量的长度。通过两个向量的内积以及向量的长度，可以计算它们之间的距离，这在计算机视觉、图形学等领域有重要应用。
3. 判断向量的正交性和单位化：两个向量的内积为0时，表示它们正交。通过内积可以判断向量的正交性，对于一组正交向量可以进行单位化处理，得到一组单位正交向量，这在信号处理、傅里叶分析等领域有广泛应用。
4. 判断向量的相似性：通过计算向量的内积，可以衡量向量之间的相似性。在信息检索、机器学习等领域，通过计算向量的相似性可以实现文本相似度计算、图像检索等应用。
5. 解决线性方程组：在线性代数中，通过内积的概念可以定义向量的正交投影和正交补空间，进而可以解决线性方程组。内积在矩阵的分解、矩阵的特征值分析等领域也有重要应用。