数据结构—树(自学笔记）（郝斌）_树的每个结点有且仅有一个父节

树的定义

专业定义

• 有且只有一个称为根的节点
• 有若干个互不相交的子树，这些子树本身也是一颗树

通俗的定义

• 树是由节点和边组成
• 每个节点只有一个父节点但可以有多个子节点
• 但有一个节点例外，该节点没有父节点，此节点称为根节点

相关术语

• 节点
• 双亲节点
• 子节点
• 子孙
• 兄弟(同一个双亲节点）
• 堂兄弟(它们的双亲节点在同一层）
• 层次
  • 从根节点到最底层节点的层数称为深度或者高度
  • 根节点是第一层
• 叶子节点
  • 没有子节点的节点
• 非终端节点
  • 实际非叶子节点
• 度
  • 子节点的个数
• 树的度
  • 树中节点最大的度
    

树的分类

一般树

• 任意一个节点的子节点的个数都不受限制

二叉树

• 任意一个节点的子节点个数最多两个，且子节点的位置不可更改

二叉树的分类

• 一般二叉树
• 满二叉树
  • 在不增加树层数的前提下，无法再添加一个节点的二叉树就是满二叉树
  • 高度为h，且有$2^h-1$ 个节点的二叉树
• 完全二叉树
  • 如果只是删除了满二叉树最底层最右边的连续若干个节点，这样形成的二叉树就是完全二叉树
• 扩充二叉树（2-树）
  • 仅存在度为2和0的节点
  • 不存在度为1的节点

二叉树的性质

1. 在二叉树的第i层上至多有$2^{i-1}$个节点
2. 深度为k的二叉树至多有$2^k-1$个节点
3. 对如何一棵二叉树T，如果其终端节点数为$n_0$，度为2的节点数为$n_2$,则$n_0$ = $n_2$ + 1;
4. 具有n个节点的完全二叉树的深度为$\lfloor lo{g}_{2}n\rfloor$+1（$\lfloor x\rfloor$表示不大于x的最大整数）
5. 如果对一棵有n个节点的完全二叉树，(其深度为$\lfloor lo{g}_{2}n\rfloor$+1)的节点按层序编号(从第1层到第$\lfloor lo{g}_{2}n\rfloor$+1层，每层从左到右)，对任一节点i(1 $\le$ i $\le$ n)有：
   1. 如果i = 1，则节点i是二叉树的根，无双亲；如果i >1,则其双亲是节点$\lfloor i/2\rfloor$.
   2. 如果2i > n,则节点i无左孩子,(节点i为叶子节点）；否则其左孩子是节点2i。
   3. 如果 2i+1 > n,则节点i无右孩子，否则其右孩子节点是2i+1.
      

对于第一条来说是显然的，i = 1时就是根节点。 i > 1时，比如节点7，它的双亲就是$\lfloor 7/2\rfloor$=3，节点9，它的双亲就是$\lfloor 9/2\rfloor$=4。

第二条，比如节点6，因为2$\times$ 6 =12超过了节点总数10，所以节点6无左孩子，它是叶子节点。同样，而节点5，因为2$\times$ 5=10正好是节点总数10，所以它的左孩子是节点10.

第三条，比如节点5，因为2$\times$ 5+1 =11，大于节点总数10，所以它无右孩子。而节点3，因为2$\times$ 3+1 = 7小于10，所以它的右孩子是节点7.

森林

• n个互不相交的树的集合

树的存储

• 二叉树的存储
  • 连续存储【完全二叉树】
    • 优点
      • 查找某个节点的父节点和子节点（包括判断有没有子节点）速度很快
    • 缺点：
      • 耗用内存空间过大

  • 链式存储

• 一般树的存储
  • 双亲表示法
    • 求父节点方便
  • 孩子表示法
    • 求子节点方便
  • 双亲孩子表示法
    • 求父节点和子节点都很方便
  • 二叉树表示法
    • 把一个普通树转化成二叉树存储
      • —>大概思路
        • 设法保证任意一个节点的
          • 左指针域指向他的第一个孩子
          • 右指针域指向它的第一个兄弟
        • 只要能满足此条件，就可以把一个普通树转化为二叉树
        • 一个普通树转化成的二叉树一定没有右子树
          
      • 具体方法：
      1. 加线。在所有兄弟节点之间加一条连线。
      2. 去线。对树中每个节点，只保留它与第一个孩子节点的连线，删除它与其他孩子节点之间的连线。
      3. 层次调整。以树的根节点为轴心，将整棵树顺时针旋转一定的角度，使其看起来像个二叉树。注意⚠️第一个孩子是二叉树节点的有孩子，兄弟转换过来的孩子是节点的右孩子。
         
      • 把森林转化为二叉树
        • 大概思路：
        • 森林是由若干棵树组成的，所以完全可以理解为，森林中的每一棵树都是兄弟，可以安装兄弟的处理办法来操作。
• 森林的存储
  • 先把森林转化为二叉树，再存储二叉树

二叉树的操作

• 遍历
  • 先序遍历【先访问根节点】
    • 先访问根节点
    • 再先序访问左子树
    • 再先序访问右子树
    • 例子：
  • 中序遍历【中间访问根节点】
    • 中序遍历左子树
    • 再访问根节点
    • 再中序遍历右子树
    • 例子：
  • 后序遍历【最后访问根节点】
    • 后序遍历左子树
    • 后序遍历右子树
    • 再访问根节点
    • 例子：
• 已知两种遍历序列求原始序列
  • 通过先序和中序 或者 中序和后序我们可以还原出原始的二叉树
  • 但是通过先序和后序是无法还原出原始的二叉树的
    • ​ 换种说法：
      • 只有通过先序和中序，或通过中序和后序才可以唯一确定一个二叉树
  • 例子(1)：
  • 例子(2)：

应用

• 树是数据库中数据组织一种重要形式
• 操作系统子父进程的关系本身就是一棵树
• 面向对象语言中类的继承关系本身就是一棵树
• 赫夫曼数