线性代数二（基本概念）_矩阵的二次型的性质

•         ①   https://blog.csdn.net/qq_16555103/article/details/88378009    ---------- 几个重要的矩阵点积

八、矩阵的秩：

1、矩阵子式的定义与子式个数的计算：

                      概念：矩阵中最高非零子式的阶数。

2、矩阵秩的定义：

 3、矩阵秩的计算方法：

4、矩阵秩的 性质：

九、向量组的概念：

1、向量组的概念：

                 理解： 矩阵是一个特殊的向量组。

2、向量组线性组合的概念：

3、向量组的线性组合的矩阵表示：

4、向量组的线性组合的方程组表示：

 

十、线性相关：

• 理解：线性相关指的是 向量组（α1，α2，α3，...）的 秩是 小于 k 的元数的，即齐次方程组 有非零解。
•            线性不相关指的是 向量组的 秩等于 k 的元数 即 齐次方程组 只有 零解。

 1、线性相关的概念：

2、线性相关的代数表示：

•  

3、线性相关的判断方法：

十一、矩阵的对角化：

• ①矩阵对角化的概念：

• ② 矩阵对角化的特点：
  • 1、P 是由 方阵 A 的所有 特征向量 以列 的形式 组成的。
  • 2、得到的对角矩阵是由 A 所有的 特征值组成。
  • 3、

                4、方阵对角化本质：  A      相似于(通过初等变换)      A特征值构成的对角矩阵

                             https://blog.csdn.net/qq_16555103/article/details/84862737#t34  -------- 矩阵相似(文章序言)

• ③判断方阵是否可以对角化步骤：

                https://blog.csdn.net/qq_16555103/article/details/84862737   ---------- 特征值与特征向量（第二节） 

  • 1、首先：求出方阵所有的特征值：

  • 

  • 2、判断：
    • ① 如果所有的特征值都是单根,则A一定能对角化。
    • ② 如果A的特征值有重根，如果 重跟的个数 特征向量的基础解系 的个数相同，则该方阵可以对角化。
    • 例题：

十二、二次型：

1、二次型的定义：

2、二次矩阵与二次型的理解：

例题：

3、二次型矩阵的性质：

4、二次型的标准型：

1、任何二次型都有标准型。
2、标准二次型的二次型矩阵是对角矩阵，对角线的元素是二次型的系数。
3、将二次型化为标准型的本质：将 原二次型矩阵 合同变换 为对角矩阵。

 

 （2）合同变换法： 即 矩阵 行 做 初等变换时 列也应当做 相同的初等变换。              

                                        ①合同变换法的代数表示方法：   

                                        ②合同变换来求二次型的标准型： 

特点：1、二次型矩阵是一个对称矩阵
     2、任何一个对称矩阵都可以通过合同变换转化为 对角矩阵，即 该对角矩阵与二次型矩阵合同，也就是等 
        价。

 

           证明： 

 

5、二次型的正定型：

①正定型的概念：

②二次型正定型的判定：

6、正定矩阵的定义与判定：

（1）正定矩阵的定义：

（2）二次型矩阵判定正定性：

•       前提：A矩阵是实对称矩阵（非对称矩阵用顺式主子式来判定）。

判断二次型矩阵是否正定：
1、二次型矩阵正定  <<<<<>>>>>> A 与 单位矩阵E 合同
2、二次型矩阵正定  <<<<<>>>>>> 存在 可逆矩阵C 使得A = C’C（C’C一定是对称矩阵）
3、二次型矩阵正定  <<<<<>>>>>> A与任意一个 正对角矩阵合同。
                              推论：正对角矩阵与E合同

•       判定方法详情： 

 

•      二次型正定矩阵的性质：

         

（3）顺序主子式判定正定型：

•       特点：顺式主子式方法可以判断任何类型的矩阵是否正定

            例： 

9、二次型的分类：

10、二次型矩阵的分类：