一组向量 {v1,v2,…,vn} 被称为线性独立的，如果没有一组非全零标量 {α1,α2,…,αn} 使得 α1v1 + α2v2 +⋯+ αnvn = 0（可以理解为一组向量中的，没有任何一个向量可以表示为其它向量的线性组合，即构成的矩阵满秩时，则称这组向量线性无关）。如果一组向量不是线性独立的，则称这组向量是线性依赖的。（如果一组向量中至少有一个向量可以表示为其它向量的线性组合）

5. 子空间、基和维数

子空间：如果 V 的一个非空子集 W 自身满足线性空间的所有性质，则 W 是 V 的一个子空间。
基和维数：线性空间的一组基是其最小的生成集，即最小的能表示整个空间的线性独立向量集。基的向量数定义了线性空间的维数。

6. 核和像

对于线性变换 T: V→W，其核（Kernel）是映射到零向量的所有向量的集合，其像（Image）是所有可能输出的集合。

核（Kernel）

核，也称为零空间，是定义在线性映射 T: V→W 中的一个概念，其中 V 和 W 是向量空间，且它们可以是同一个空间或不同的空间。核是来自源空间 V 的所有向量的集合，这些向量通过映射 T 被送到目标空间 W 的零向量。形式上，核定义为：

其中 0W 表示 W 空间中的零向量。

像（Image）

像，也称为值域或范围，是线性映射 T: V→W 的另一个关键概念。它是所有可能的输出构成的集合，也就是通过映射 T 从源空间 V 到目标空间 W 的所有向量的集合。形式上，像定义为：

核与像的关系

核和像之间存在一个重要的关系，它是线性代数中的一个基本定理，称为秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）：

这个定理说明了线性映射 T 从源空间 V 到目标空间 W 的作用方式，将 V 的维数分解为核的维数（零化度）和像的维数（秩）的和。

应用

在解线性方程组时，核给出了齐次方程组的解的结构。
在研究线性变换时，像提供了变换能够到达目标空间中哪些点的信息。

一些重要的性质

核和像是线性变换的基本性质，它们的维度加起来等于原始向量空间的维度。
核的维数（称为映射的零度或核的维数）提供了线性依赖性的信息：如果核仅包含零向量，则 T 是单射（Injective）。
像的维数（称为映射的秩或像的维数）提供了线性映射的 “覆盖” 能力的信息：如果像等于整个目标空间 W，则 T 是满射（Surjective）。
核和像是互补的，也就是说，它们的交集是零向量空间。这意味着，在给定的向量空间中，只要知道了一个线性变换的核和像，我们就可以完全描述它。
核和像也与线性变换的可逆性有关。一个线性变换是可逆的，当且仅当它的核是零向量空间，它的像是整个目标向量空间。

通俗理解

矩阵映射是将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量。在这种情况下，矩阵表示了这个映射，我们称之为线性变换。考虑一个线性变换 T，它将向量 x 映射到向量 y，用矩阵表示为 A，我们可以写成 y=Tx 或 y=Ax。

核是一个线性变换的一种特殊子集，它包括所有被映射到零向量的向量。具体来说，对于一个线性变换 T，它的核是一个向量空间，包括所有满足 T(x)=0 的 x。在矩阵表示中，核是由矩阵 A 的零空间所定义的，即 Ax=0 的所有 x 的集合。（即通过这个线性映射，将 x 映射为 0 的集合称为核）

像是一个线性变换的另一个特殊子集，它包括所有映射到的向量。具体来说，对于一个线性变换 T，它的像是一个向量空间，包括所有满足 y=T(x) 的 y。在矩阵表示中，像是由矩阵 A 的列空间所定义的，即所有可以表示为线性组合 Ax 的向量 y 的集合。

线性空间的维数、基与坐标

线性空间（向量空间）的维数、基与坐标是理解和应用线性代数中最核心的概念之一。它们为研究和描述向量空间提供了重要的工具。

维数 (Dimension)

维数是用来描述一个线性空间的“大小”或复杂度的。具体来说，一个线性空间的维数定义为其任一基中向量的数量。这意味着：

如果一个线性空间仅由一个零向量构成，则其维数为 0（零维空间）。
如果存在一组 n 个线性独立的向量，且这组向量的跨度等于整个空间，则该空间的维数为 n。
有限维空间的维数是一个固定的自然数。无限维空间的维数不是有限的自然数，它的维数可以是可数无穷或不可数无穷（有限维与无限维）。

基 (Basis)

基是线性空间中的一组向量，满足两个条件：线性独立和跨度等于整个空间。这意味着：

线性独立：基中的任何向量都不能表示为其他向量的线性组合。
跨度等于整个空间：空间中的任何向量都可以表示为基向量的线性组合（生成整个空间）。

基的概念是极其重要的，因为它为线性空间中的向量提供了一种“坐标表示”。一个向量空间可以有多个不同的基，但所有基都有相同数量的向量，即该空间的维数。

坐标 (Coordinates)

一旦选定了一个线性空间的基，空间中的每个向量都可以唯一地表示为基向量的线性组合。这组线性组合的系数称为该向量相对于所选基的坐标。坐标提供了一种量化向量的方法，将抽象的向量概念转化为具体的数值列表。

坐标变换：当改变基时，可以通过线性变换将向量在旧基下的坐标转换为在新基下的坐标。

举例

假设我们有一个二维向量空间 $\mathbb{R}^{2}$ ，一个可能的基是标准基 { (1,0), (0,1) }。这意味着任何 $\mathbb{R}^{2}$ 中的向量 (a,b) 都可以表示为 a(1,0)+b(0,1)。在这种情况下，a 和 b 就是向量 (a,b) 相对于标准基的坐标。

关键性质

唯一性：线性空间中的每个向量在给定的基下都有唯一的坐标表示。
维数定理：所有的基包含相同数量的向量，这个数量等于线性空间的维数。
坐标变换公式：存在明确的数学公式，用于在两组基之间转换向量坐标。
线性映射和坐标表示：线性映射（线性变换）在适当选取的基下可以用矩阵表示。该矩阵的列向量是原空间的基向量经过映射后在目标空间的基下的坐标。
维数公式：对于任何线性映射 T:V→W，如果 V 是有限维的，则有 dim( ker(T) )+dim( Im(T) ) = dim(V)，其中 dim( ker(T) ) 是核的维数，dim( Im(T) ) 是像的维数。

小结

维数告诉我们一个线性空间有多 “大” 或者说有多少个 “方向”。
基提供了一种方法来描述空间中的向量，使得每个向量都可以通过一组固定的向量（基向量）来表示。
坐标则是这种表示的具体表现，它把抽象的向量具体化为一组数值。

线性变换和线性映射

线性变换（或线性映射）是线性代数中的一个核心概念，描述了如何通过两个向量空间之间的一种特殊函数关系来转换向量。这种映射尊重向量空间中向量加法和标量乘法的结构。

定义

给定两个向量空间 V 和 W，它们都是在同一个数域 F 上，一个线性变换 T 是一个函数，T: V→W，满足以下两个条件对于所有 u,v∈V 和所有标量 c∈F：

加法保持：T(u+v)=T(u)+T(v)
标量乘法保持：T(cu)=cT(u)

如果一个函数满足上述两个条件，我们称它为线性的。

关键性质

线性映射的性质深刻影响了它们的行为和应用：

核（Kernel）：线性映射 T 的核是定义为所有被映射到目标空间零向量的向量集合，即 Ker(T) = {v∈V∣T(v)=0W}。核是原向量空间 V 的一个子空间。
像（Image）：线性映射 T 的像（或值域）是通过映射 T 可以达到的 W 中的所有点的集合，即 Im(T)={w∈W∣∃v∈V,T(v)=w}。像是目标向量空间 W 的一个子空间。
秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）：对于线性映射 T:V→W，源空间 V 的维数等于核的维数加上像的维数，即 dim(V) = dim(Ker(T))+dim(Im(T))。
线性变换的矩阵表示：在选择了一组基之后，任何线性映射都可以通过一个矩阵表示。这个矩阵的列向量是源空间基向量在目标空间基下通过映射 T 的坐标。

线性变换的特征值和特征向量

特征值和特征向量是研究线性变换性质的重要工具，它们在解决实际问题中扮演着核心角色，如在稳定性分析、系统动力学、量子力学等领域。

定义

给定一个线性变换 T:V→V，其中 V 是数域 F 上的一个向量空间。如果存在一个标量 λ∈F 和一个非零向量 v∈V 使得：

则称 λ 是 T 的一个特征值（eigenvalue），v 是对应于 λ 的一个特征向量（eigenvector）。

直观上，特征向量是在线性变换下方向不变的向量，而特征值则表示特征向量在变换下的伸缩因子。

特征值和特征向量的求法

在实际计算中，特征值和特征向量通常通过将线性变换表示为矩阵来找到。设 A 是线性变换 T 在某基下的矩阵表示。那么，寻找特征值和特征向量等价于解方程：

或者等价于解：

其中 I 是单位矩阵，v 是非零向量。这是一个齐次线性方程组，非平凡解存在的条件是系数矩阵的行列式为零：

这个方程称为特征方程，解此方程可得特征值 λ，进而可以求出相应的特征向量 v。

关键性质

不变子空间：给定特征值 λ 的所有特征向量（包括零向量）构成了向量空间 V 的一个子空间，称为 λ 的特征空间。
谱定理：对于实对称矩阵或复 Hermitian 矩阵，它们的特征值都是实数，并且可以找到一组正交的特征向量构成矩阵的基。
特征多项式：特征方程 det(A−λI)=0 的左侧是 λ 的多项式，称为矩阵 A 的特征多项式。
迹和行列式：矩阵 A 的特征值之和等于其迹（矩阵对角线上元素的和），特征值的乘积等于其行列式。

线性子空间

线性子空间（或简称子空间）是线性代数中的一个核心概念，它描述了向量空间内满足特定条件的向量集合。具体来说，一个线性子空间是原向量空间的一个子集，这个子集本身也构成一个向量空间，遵循原空间定义的加法和标量乘法规则。

定义

给定一个向量空间 V，如果 V 的一个子集 W 满足以下条件，则 W 是 V 的一个线性子空间：

1. 零向量：W 包含 V 的零向量。

2. 封闭性：

加法封闭性：对于任意的 u,v∈W，有 u+v∈W。
标量乘法封闭性：对于任意的 a∈F（其中 F 是 V 上的数域）和 v∈W，有 a⋅v∈W。

即从 W 中取任意两个向量进行加法运算，或将 W 中的向量与任意标量相乘，结果仍然在 W 中。

例子

全空间：任何向量空间 V 本身是其一个子空间。
零子空间：只包含零向量的集合 {0} 是 V 的一个子空间。
直线和平面：在 $\mathbb{R}^{3}$ 中，通过原点的直线和平面分别构成 $\mathbb{R}^{3}$ 的一维和二维子空间。

性质

交集性质：两个（或多个）子空间的交集也是原向量空间的子空间。
非交集性质：两个（或多个）子空间的并集通常不是子空间，除非一个子空间完全包含于另一个子空间中。
子空间的基和维度：作为向量空间，每个子空间都有自己的基和维度。子空间的维度总是小于或等于原空间的维度。

创建子空间的方法

线性组合：给定一组向量，这些向量的所有可能的线性组合形成的集合是一个子空间。
解空间：线性方程组的解集形成一个子空间，称为方程组的解空间或零空间。
特征空间：给定线性变换和其特征值，对应特征值的所有特征向量（包括零向量）构成的集合是一个子空间，称为特征空间。

总结

线性空间（向量空间）

线性空间是一个集合，其中的元素称为向量，这些向量可以通过加法和标量乘法进行组合，且满足特定的公理，如加法的交换律和结合律、加法和标量乘法的分配律等。线性空间的概念抽象化和广泛化了向量的概念，不仅包括几何向量，还包括函数、多项式、矩阵等其他数学对象。

关键特点：

包含零向量。
对加法和标量乘法封闭。
具有加法逆元素。

线性空间的研究重点包括基和维数的概念，这些概念帮助我们理解空间的结构和度量空间的“大小”。

线性变换（线性映射）

线性变换是定义在两个线性空间之间的一类特殊函数，它保留了向量加法和标量乘法的操作。线性变换可以视为一种将一个向量空间中的向量“转换”到另一个向量空间中的过程，同时保留向量空间的线性结构。

关键性质：

保持加法和标量乘法的操作。
具有核（变换使向量映射到零向量的所有向量的集合）和像（变换的所有可能结果形成的集合）。
可以用矩阵来表示，并通过解特征方程来研究其特征值和特征向量。

线性变换的研究帮助我们理解和分析不同线性空间之间的关系，以及空间内部的结构如何因变换而改变。

参考

矩阵分析-第2版（清华大学出版社）

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