线性回归中的对于“线性”的理解_线性回归的线性是什么意思

在线性回归中，“线性”有两层含义：一是指自变量和因变量之间的关系是线性的，二是指模型的拟合方式是线性的。下面将分别阐述。

一、自变量和因变量之间的关系是线性的

在线性回归中，我们希望找到一组自变量，使得它们能够最好地描述因变量的变化趋势。这里，“最好地描述”意味着模型能够尽可能地拟合观测到的因变量数据。在线性回归中，这种关系可以用线性方程来描述，即:

$$y=\alpha +\beta x$$

其中，$y$是因变量，$x$是自变量，$\alpha$和$\beta$是模型的参数。这个模型表示了当$x$发生变化时，$y$会随之发生变化，而且这种变化趋势是线性的。

具体来说，如果$y$可以表示为$y=\theta +\omega x$,其中$\theta$和$\omega$是模型的参数，那么这个模型也被称为线性回归模型。这表明，在线性回归中，我们希望找到一个线性模型来描述$y$和$x$之间的关系。

在线性回归中，自变量和因变量之间的关系可以用线性方程来描述，这是因为我们通常研究的是因变量和自变量之间的关系，而不是自变量之间的相互关系。这是因为在实际应用中，通常只有一个自变量，而其他自变量都是这个自变量的函数。

二、模型的拟合方式是线性的

在线性回归中，我们希望找到一个最优的模型参数，使得模型能够准确地预测因变量的值。为了达到这个目的，我们通常使用最小二乘法 (Least Squares) 来求解模型参数。

最小二乘法是一种通过最小化模型预测误差来求解参数的方法。具体来说，如果我们有一组观测值$y$,以及它们对应的自变量$x$,那么我们可以通过将观测值$y$减去模型预测值$\hat{y}$来得到模型预测误差$e$:

$$e=y-\hat{y}$$

然后，我们可以通过将模型预测误差平方并且求和来得到模型的拟合优度:

$$\sum _{i=1}^n(e_i{)}^2$$

如果观测值$y_i$和模型预测值${\hat{y}}_i$之间的平方误差越小，那么模型的拟合优度就越高。

在线性回归中，最小二乘法求解参数的过程就是不断地调整参数，使得模型预测误差最小化的过程。这种模型拟合方式是线性的，即模型参数的求解是在一个线性方程组中完成的。

总之，在线性回归中，“线性”有两层含义，一是指自变量和因变量之间的关系是线性的，二是指模型的拟合方式是线性的。通过理解“线性”的含义，我们可以更好地理解线性回归的原理