数学建模--（10）降维模型_降维模型因果模型

作者：Monodyee | 2024-02-26 08:06:04

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降维模型因果模型

前言

前言

这里介绍三种降维算法，先介绍一下各自的特点。

主成分分析主要是吧多个指标进行降维，只保留几个指标；
因子分析要优于主成分分析，因为因子分析比主成分分析好解释，主成分分析使用后不好解释，因子分析作用与主成分分析相同；
典型相关性分析的作用感觉有些局限（相比于以上两种算法），典型相关分析是研究两组变量之间相关关系的一种多元统计方法，它能够揭示出两组变量之间的内在联系，就是说在分别包含多个指标的两组数据中分别挑选出一个指标来代替自己那一组的数据，以此来进行分析两组数据的联系。

数据降维的作用

降维是将高维度的数据（指标太多）保留下最重要的一些特征，去除噪声和不重要的特征，从而实现提升数据处理速度的目的。
在实际的生产和应用中，降维在一定的信息损失范围内，可以为我们节省大量的时间和成本。降维也成为应用非常广泛的数据预处理方法。

降维具有如下一些优点：

使得数据集更易使用；
降低算法的计算开销；
去除噪声；
使得结果容易理解。

一、主成分分析（PCA）

1.介绍

主成分分析是一种降维算法，它能将多个指标转换为少数几个主成分，这些主成分是原始变量的线性组合，且彼此之间互不相关，其能反映出原始数据的大部分信息。一般来说，当研究的问题涉及到多变量且变量之间存在很强的相关性时，我们可考虑使用主成分分析的方法来对数据进行简化。
主成分分析是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法。从数学角度来看，这是一种降维处理技术。

2.算法流程

进行标准化处理
计算标准化样本的协方差矩阵
计算R的特征值和特征向量
计算主成分贡献率以及累计贡献率
写出主成分
根据系数分析主成分代表的含义
利用主成分的结果进行后续的分析

1.进行标准化处理

2.计算标准化样本的协方差矩阵

3.计算R的特征值和特征向量

4.计算主成分贡献率以及累计贡献率

5.写出主成分

6.根据系数分析主成分代表的含义

7.利用主成分的结果进行后续的分析

3.主成分分析的说明

        在主成分分析中，我们首先应保证所提取的前几个主成分的累计贡献率达到一个较高的水平，其次对这些被提取的主成分必须都能够给出符合实际背景和意义的解释。
        主成分的解释其含义一般多少带有点模糊性，不像原始变量的含义那么清楚、确切，这是变量降维过程中不得不付出的代价。因此，提取的主成分个数m通常应明显小于原始变量个数p(除非p本身较小)，否则维数降低的“利"可能抵不过主成分含义不如原始变量清楚的“弊"。
        如果原始变量之间具有较高的相关性，则前面少数几个主成分的累计贡献率通常就能达到一个较高水平，也就是说，此时的累计贡献率通常较易得到满足。
        主成分分析的困难之处主要在于要能够给出主成分的较好解释，所提取的主成分中如有一个主成分解释不了，整个主成分分析也就失败了。
        主成分分析是变量降维的一种重要、常用的方法，简单的说，该方法要应用得成功，一是靠原始变量的合理选取，二是靠“运气"。

二、因子分析（FA）

1.介绍

因子分析由斯皮尔曼在1904年首次提出，其在某种程度上可以被看成是主成分分析的推广和扩展。
因子分析法通过研究变量间的相关系数矩阵，把这些变量间错综复杂的关系归结成少数几个综合因子，由于归结出的因子个数少于原始变量的个数，但是它们又包含原始变量的信息，所以，这一分析过程也称为降维。由于因子往往比主成分更易得到解释，故因子分析比主成分分析更容易成功，从而有更广泛的应用。