leetcode刷题系列(动态规划) 一.最大公共子串_两个数组最长公共子串

题目

给两个整数数组 A 和 B ，返回两个数组中公共的、长度最长的子数组的长度。
示例 1:
输入:
A: [1,2,3,2,1]
B: [3,2,1,4,7]
输出: 3
解释:
长度最长的公共子数组是 [3, 2, 1]。

思路

这题很简单,可以类比为求两个字符串的最大公共子串,

注意这里是子串,而不是子序列,子串意味着公共的部分必须是连续的

这里我们可以利用动态规划的思想
例如:
A字符串为"abcd"
B字符串为"dab"
现在我们将B字符串拆解成一个个的字符(d,a,b),然后循环着去和A的每一个字符(a,b,c,d)做比较,
看看A中,有没有字符与B中当前字符是相等的
如果A中没有与B当前字符, 相等的字符:那很简单,以B当前字符结尾的最大公共子串一定不存在

公共的子串中所有的元素,必须两个串都有,不可能存在一个元素,A有但是B没有,如果存在,那就不算是公共子串了

如果A中有与B当前字符, 相等的字符:那么以B当前字符结尾的最大公共子串,一定等于以B当前字符的前一个字符结尾的公共字串的长度加一

例如我们得到最大公共子串是[X1,X2,X3…X(n-1),X(n)]
当我们当前字符为X(n)时,求得的以X(n - 1)结尾最大公共字串为s1[X1,X2,X3…X(n-1)]
当我们当前字符为X(n)时,求得的以X(n)结尾最大公共字串为s2:[X1,X2,X3…X(n-1),X(n)]
所以s2 = s1 + X(n)
Len(s2) = Len(s1) + 1

现在我们设dp[i][j]为A中前i个字符与B中前j个字符的最大公共子串的长度
我们很容易就能得出一个动态规划的状态表达式
dp[i][j] = 0(A[i] != B[j])
dp[i][j] =dp[i - 1][j - 1] + 1(A[i] = B[j])

例如:
A: [1,2,3,2,1]
B: [3,2,1,4,7]

代码

class Solution {
    public int findLength(int[] A, int[] B) {
        int[][] dp = new int[A.length + 1][B.length + 1];
        if(A == null || B == null){
            return 0;
        }
        int max = 0;
        for(int i = 0;i < A.length;i++){
           for(int j = 0;j < B.length;j++){
                if(A[i] == B[j]){
                    dp[i + 1][j + 1] = dp[i][j] + 1;
                }else{
                    dp[i + 1][j + 1] = 0;
                }
               max = Math.max(max,dp[i + 1][j + 1]);
           } 
        }
        return max;
    }
}
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空间优化思路

通过我们上面的图片可以看出来当前状态只跟上一行的状态有关
也就是说:dp[i][j]的状态只跟dp[i - 1][j - 1]有关
所以我们完全可以用一个一维数组来存放状态
为了防止某一个元素被使用多次,我们可以从尾部开始倒序循环

我们很容易就能得出一个动态规划的状态表达式
dp[i] = 0 (A[i] != B[j])
dp[i] = dp[i - 1] + 1 (A[i] = B[j])

例如:
A: [1,2,3,2,1]
B: [3,2,1,4,7]

与A的第一个元素进行比较

与A的第二个元素进行比较

与A的第三个元素进行比较

与A的第四个元素进行比较

与A的第五个元素进行比较

代码

class Solution {
    public int findLength(int[] A, int[] B) {
        int[] dp = new int[B.length + 1];
        if(A == null || B == null){
            return 0;
        }
        int max = 0;
        for(int i = 0;i < A.length;i++){
           for(int j = B.length - 1;j >= 0;j--){
               dp[j + 1] = A[i] == B[j] ? dp[j] + 1 : 0; 
               max = Math.max(max,dp[j + 1]);
           } 
        }
        return max;
    }
}
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