两个很重要的极限和夹逼准则_sinx/x夹逼

两个重要的极限
第一个：
lim(sinx/x)，在x趋向于0的时候，其值为1。

第二个：
lim(1+1/x)^x，在x趋向于正无穷的时候，其值为e。

夹逼准则
如果函数a(x)，b(x)，c(x)
满足：
a(x)<=b(x)<=c(x)

在
x趋向于x0
或者x趋向于无穷大

此时a(x)和c(x)都有极限，并且极限都是A，那么又因为：a(x)<=b(x)<=c(x)
此时推导出b(x)在

x趋向于x0
或者x趋向于无穷大
时的极限也是A。

下面来证明第一个重要的极限：
lim(sinx/x)在x趋向于0的时候，极限值为1。

如图所示：

上图为四分之一圆，圆的半径为1。
如果角AOB为x，单位为弧度。
sinx=CB
x=弧AB，这里要知道弧长计算公式了，等于半径*扇形的弧度，
tanx=AD/OA=AD，这里的OA=半径=1
由图可以可得：
sinx<=x<=tanx
x<=tanx见下图，而弧AB>AB>sinx是由图显而易见的。

不等式两边同时除以sinx得到：
1<=x/sinx<=tanx/sinx
也就是：
1<=x/sinx<=1/cosx
这个距离我们的sinx/x的极限还是有一定距离：
我们将等式全部倒数得到：
cosx<=sinx/x<=1

如果我们能够推导出cosx的极限在x趋向于0的时候，是1，那么根据夹逼准则可以推导出：sinx/x，在x趋向于0的时候的极限也是1。

ok，问题转化成了，求cosx的在x->0的极限。

在0到pi/2区间内：
0<=|cosx-1|=1-cosx=2[sin(x/2)]^2

根据上面的图形知道，x在0到pi/2区间，sinx<=x<=tanx
而x/2，则进一步的缩小了区间，此时在0到pi/4区间了，则有sin(x/2)<=x/2<=tan(x/2)
此时：
0<=|cosx-1|=1-cosx=2[sin(x/2)]^2 <=2*(x/2)(x/2)=xx/2
当x趋向0的时候，x*x/2的极限为0
所以从而得到：cosx在x趋向0的时候，极限为1。

cosx<=sinx/x<=1
所以，得到sinx/x在x趋向0的时候，极限为1。

准则二：
单调有界数列必有极限。
证明略。在高等数学，同济大学版中，证明略，只给出了几何解释。

第二个重要的极限
lim(1+1/x)^x，在x趋向于正无穷的时候，其值为e。

证明，分为两步。
如果考虑正整数的情况。

Xn = (1+1/n)^n
1）根据牛顿的二项展开式，我们分别展开Xn和Xn+1的情况，可以得到Xn+1是大于Xn的。说明是单调递增的。
2）然后证明其是有界的
比如将Xn=(1+1/n)^n展开：

由于1-1/n是小于1的，而(1-1/n)(1-2/n)<1*1
以此类推：

就小于

此时说明，数量Xn是有界的，ok，也就说明lim(1+1/x)^x，在x趋向于正无穷的时候，是有极限的，通常用字母e表示。