【B树及B树的基本操作】_在一棵高度为4,阶数为4的b树中,若第二层有6个关键字,树的结点个数

1.B树的定义和特性

B树是一种平衡的多路查找树。
一棵m阶的B树（B树中所有结点的孩子个数的最大值为m)，或为空树，或为满足下列特性的m叉树：

(1) 树中每个结点至多有m棵子树，至多含有m-1个关键字；
(2)若根结点不是叶子结点，则至少有两棵子树；
(3) 非根非叶节点至少有 ⌈m/2⌉ 棵子树,至少含有 ⌈m/2⌉-1课子树；
(4)所有的非终端节点中包含下列信息数据


(5)所有的叶子结点都出现在同一层次上，并且不带信息(可以看作是外部结点或查找失败的结点，实际上这些结点不存在，指向这些结点的指针为空)。

我们可以借助实例来分析，例如下图所示为一棵3阶的B树。

注意：绿色和黄色标记的结点是内部结点，最下面一层蓝色标记的是外部结点。

2.B树的性质

通过这颗3阶B树，我们可以得到他的一些性质：

(1）节点孩子的个数等于该结点中的关键字个数+1。
(2) 根据 (1)性质可得如果根结点有关键字，则它的子树的个数必然大于或等于2。
(3) 结点中的关键字都是有序的(递增或递减), 关键字两侧均有指向子树的指针，左指针所指子树的所有关键字都小于该关键字，右指针所指子树的所有关键字都大于该关键字。
(4) 下层结点的关键字总是落在有上层结点关键字所划分的区间内。例如本实例3阶B树第二层最右边结点的关键字13 和18划分了3各区间：(-∞,13),(13,18),(18,∞)。
(5)所有叶节点均在第4层上,代表查找失败的结点。

【例-1】下图所示的是一颗（）

A.4阶B树 B.4阶B+树 C.3阶B树 D.3阶B+树
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3.B树创建的过程。

（1）插入:

注意：如果插入前B树非空，那么插入位置一定在最底层中的某个非叶节点。
有前面讲的B树的特性可知，所有结点中关键字的个数n满足 ⌈m/2⌉-1<= n <= m-1 , 若插入后的关键字的个数小于m，则可直接插入。也就是每当插入一个结点后，都要检查节点内关键字的个数，看是否满足B树的条件。当插入结点的关键字个数大于m-1,必须对结点进行分裂。
（2）分裂：
从中间位置 ⌈m/2⌉ 将其中的关键字分为两部分，左边部分的关键字放在原节点中，右边部分放到新的节点中。中间位置 ⌈m/2⌉ 的节点插入有以下两种情况：
✭ 如果没有双亲节点，新建一个双亲节点，B树的高度增加一层。
✭ 如果有双亲节点，将中间位置的节点插入到双亲节点中去。
分裂的过程：

【例-2】关键子序列为：
（1 ，2 ，6， 7 ，11 ，4 ，8，13， 10 ，5，17 ，9 ，16， 20 ，3 ，12 ，14， 18 ，19 ，15）。
创建一颗5阶B数。
注意: 最多关键字的个数Max = m-1 = 4。

小伙伴们，如果觉得有帮助，可以练习下面几道例题.

【例-3】关键子序列为：（5，6，9，13 ，8，2，12，15）。创建一颗4阶B数。
注意: 最多关键字的个数Max = m-1 =3

【例-4】关键子序列为：（20 30 50 52 60 68 70）给出创建一颗3阶B树。
注意: 最多关键字的个数Max = m-1=2

4.B树的删除

✭ 由前面讲的B树的性质我们知道，在一棵m阶B树中，所有非根非叶节点的关键字个数≥ ⌈m/2⌉-1,所以当我们对结点中的关键字删除后，也要保证其结点内的关键字个数≥ ⌈m/2⌉-1。
✭ 当删除的关键字K不在最底层非叶结点时，我们可以用其前驱或后继K1来替代K,然后在相应的结点删除K,
我们开看看下面删除的实例吧：
在下图的的4阶B树中删除关键字9，我们用它的前驱8来替代，然后在相应节点中删除8。
关键字个数Min=⌈m/2⌉-1=1

✭当被删除关键字在最底层非叶结点时，有下列三种情况。
♔♔直接删除关键字。若被删除关键字所在结点的关键字个数≥ ⌈m/2⌉，则直接删除关键字
♔♔兄弟够借。若被删除关键字所在结点的关键字个数= ⌈m/2⌉-1，并且其左右兄弟结点中的关键字个数≥ ⌈m/2⌉，则需要调整左右兄弟以及双亲结点的位置。

我们开看看一个具体实例：
在下图的的4阶B树中删除关键字7

♔♔兄弟不够借。若被删除关键字所在结点的关键字个数= ⌈m/2⌉-1，并且其左右兄弟结点中的关键字个数=⌈m/2⌉-1，则将关键字删除后，将其左(或右)兄弟与其双亲结点合并。
我们开看看一个具体实例：
在下图的的4阶B树中删除关键字5

5.总结

今天就先暂时写到这了，水平有限，哪里写的不好，还请谅解，有问题欢迎评论区留言！！！