Delta机器人：运动学正反解分析_delta机器人运动学分析

Delta机器人：运动学正反解分析

一、Delta机构简介

Delta机构是并联机构中的一种典型机构，起原始结构如图1所示。Delta机构由R.Clavel 博士在 1985年发明，是现在并联机器人中使用最多的一种，具备了并联机构所特有的优点，负载能力强、效率高、末端执行器精度高、运动惯性小，可以高速稳定运动等。因此在机器人领域获得了越来越广泛的应用。以实现高速、精准、高效的运动。

$图1R.Clavel博士发明的Delta机构$

二、数学模型建立

建立Delta机构简化数学模型如图2所示，其中圆$O$所在平面为定平台，圆$p$所在平面为动平台，$∆C_1{C}_2{C}_3$和$∆A_1{A}_2{A}_3$为等边三角形，点$C_1、C_2、C_3、A_1、A_2、A_3$分别为三个主动臂和三个从动臂与上下两个平台的连接点。

$图2Delta机构简化数学模型$
如图2所示，以定平台中心$O$建立坐标系$O-XYZ$，以动平台中心$p$建立坐标系$p-xyz$。由Delta机构的设计原理可知，三条支链完全对称，因此不妨设第$i（i=1,2,3）$条支链的主动臂$\left|B_i{C}_i\right|$长度为$L$，从动臂$\left|A_i{B}_i\right|$长度为$l$，主动臂与定平台夹角为${\theta }_i$，三条支链与X轴的夹角为${\phi }_i=\left(2\left(i-1\right)\pi /3\right)，i=1,2,3，$定平台半径为R，动平台半径为$r$。

三、运动学正解

Delta机构的正解，是在已知三个主动臂转角的情况下求出动平台中心点$p$在定平台所在坐标系中的坐标。Delta机构运动学正解的求法有很多种，此处采取几何解法，将$A_i{B}_i$分别沿$A_{i}p$平移使其交于点$p$得到$D_{i}p$，连接$D_1{D}_2$、$D_2{D}_3$、$D_3{D}_1$得到四棱锥$p{-D}_1{D}_2{D}_3$,如图3所示。

$图3Delta机构几何法正解简化模型$
根据上图不难得到，定平台三个铰接点$C_1、C_2、C_3$的坐标为
                                                 [ x i y i z i ] = [ R cos ⁡ φ i R sin ⁡ φ i 0 ] ， i = 1 , 2 , 3                      ( 1 ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left[

$$\begin{matrix}x_i\\y_i\\z_i\\\end{matrix}$$ \right]=\left[ $$\begin{matrix}R\cos{\varphi_i}\\R\sin{\varphi_i}\\0\\\end{matrix}$$ \right]，i=1,2,3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)                                                 ⎣⎡​xi​yi​zi​​⎦⎤​=⎣⎡​Rcosφi​Rsinφi​0​⎦⎤​，i=1,2,3                    (1)
向量$\overrightarrow{O{B}_i}$可表示为
$\overrightarrow{O{B}_i}=\overrightarrow{O{C}_i}+\overrightarrow{C_i{B}_i}，i=1,2,3(2)$
其中$\overrightarrow{C_i{B}_i}$又可表示为
$\left[\begin{array}{c}{x}_i\\ y_i\\ z_i\end{array}\right]=[\begin{array}{c}-L\sin \end{array}$