【CS229笔记】Naive Bayes朴素贝叶斯算法_朴素贝叶斯 吴恩达

Naive Bayes 朴素贝叶斯算法

朴素贝叶斯是课程中所介绍的另一种生成式学习算法。它针对的是输入x是离散的情况。

为了讲解朴素贝叶斯算法，我们设想决定设计一个电子邮件垃圾邮件过滤器，我们希望对邮件进行分类。这个和之前的分类任务有所不同，这个是文本分类。它并没有体重、面积、房间数这种如此明显的特征，它有的只是一堆文本而已，那么首先我们需要考虑如何构建特征向量？

特征向量的构建

我们利用一个特征向量来表示一个电子邮件，这个向量的长度等于字典里面的单词数，例如字典中有35000个单词，那么这个向量就有35000维。如果电子邮件包含字典中的第i个单词，那么$x_i=1$，否则就是$x_i=0$。编码到特征向量的词汇的集合称之为词汇表，特征向量的维度和词汇表的容量是一致的。

生成模型的构建

现在我们要构建一个生成模型，所以我们需要对$p(x|y)$来建模。但是如果词汇表中有50000个单词（$x_1,x_2,...,x_{50000}$），那么特征向量就会有$2^{50000}$种可能，如果说我们采用多项式分布对x进行建模的话，那么我们就会有$2^{50000}-1$个参数需要确定（每一种结果输出的概率），这么多参数要拟合是不可行的。

我们需要做出一个very strong的假设（大概就是假定数据比较接近某种理想态的意思），我们将假设在给定y条件下，$x_i$是条件独立的，即$p(x_1,x_2,...,x_{50000}|y)=p(x_1|y)p(x_2|y)...p(x_{50000}|y)$，这个假设称之为朴素贝叶斯假设，由此产生的算法是朴素贝叶斯分类器。这个假设通俗理解就是：对于一封垃圾邮件，“buy”这个单词并不影响"price"这个单词出现的概率。【提醒：条件独立和独立不是一个东西，具体可见https://zhuanlan.zhihu.com/p/58593725，下面将这篇文章的阐述摘录出来了】

条件独立和独立并不等价

• 独立推不出条件独立：有两枚正反概率均为 50% 的硬币，设事件 A 为第一枚硬币为正面，事件 B 为第二枚硬币为正面，事件 C 为两枚硬币同面。A 和 B 显然独立，但如果 C 已经发生，即已知两枚硬币同面，那么 A 和 B 就不（条件）独立了。
• 条件独立推不出独立：有一枚硬币正面的概率为 99%，另一枚反面的概率为 99%，随机拿出一枚投掷两次，事件 A 为第一次为正面，事件 B 为第二次为正面，事件 C 为拿出的是第一枚硬币。可以算出来 P(B) = 0.5 但 P(B|A) = 0.9802，说明 A 和 B 不独立，但如果 C 已经发生，即已知了拿出的是第一枚硬币，那么 A 和 B 就（条件）独立了。

再说回模型的事儿，现在我们已知$p(x_1,...,x_{50000}\mid y)={\prod }_{i=1}^{n}p(x_i\mid y)$，那么此模型由以下参数决定：${\varphi }_{i\mid y=1}=p(x_i=1\mid y=1)$，${\varphi }_{i\mid y=0}=p(x_i=1\mid y=0)$以及${\varphi }_y=p(y=1)$。此时联合似然函数为$L({\varphi }_y,{\varphi }_{j\mid y=0},{\varphi }_{j\mid y=1})={\prod }_{i=1}^{n}p(x_i\mid y)$

各个参数的极大似然估计如下所示：

${\varphi }_{i\mid y=1}$表示的是垃圾邮件中出现某个词的频率（垃圾邮件中出现某个词的邮件数/垃圾邮件数目）

那么计算出所有的参数之后，进行预测时，我们只需要简单的计算下图这个式子，然后找出使得后验概率较高的那个类别。

朴素贝叶斯同样可以应用于连续特征值，只需要我们将连续特征值离散化就可以了。当原始的连续值属性没有通过多元正态分布很好地建模时，离散化特征并使用朴素贝叶斯（而不是 GDA）通常会产生更好的分类器。

• PS. 吴恩达认为朴素贝叶斯的效果实际上并不优于逻辑回归，但是在效率上（无迭代）更好

没见过的单词

有那么一个不怎么常见的单词“nips”，它从在你的训练集中出现过（也许你的字典或者是你的词汇表有，但是你的训练集里面确实没有），那么这个时候算出来的参数就是下面这个样子：

进而导致计算$p(y=1\mid x)$的时候，会算出来一个0/0的结果，这个时候预测将会无法进行了。

事实上，因为训练集中没见过某个单词，就认为这个单词出现的概率是0。这样本身就是不合理的，因此我们需要拉普拉斯平滑来处理这个问题。

Laplace smoothing 拉普拉斯平滑

对于一个可能取值为 { 1 , . . . , k } {\{1,...,k\}} {1,...,k}的变量，给定一组样本数据 { z ( 1 ) , . . . , z ( m ) } \{z(1),...,z(m)\} {z(1),...,z(m)}，那么这个时候我们对每个值出现的概率${\varphi }_j=p(z=i)$进行极大似然估计的结果就是：

但是这样会导致如果样本数据中没有对应的结果，那么${\varphi }_j$就等于0，这与我们常规认知不符。因此我们使用拉普拉斯平滑。具体做法就是将${\varphi }_j$的估计方法变一下，变成下面这个式子：

这个方法解决了未出现取值的概率估计为0的问题，同时满足了所有取值的概率加起来等于1的要求。在某些条件下，拉普拉斯平滑给出了${\varphi }_j$的最优估计量【k的取值并不是可能取值的最大值，而是可能取值的数量】。

那么对于朴素贝叶斯分类器，参数的极大似然估计调整为以下式子【${\varphi }_y$没有必要做拉普拉斯平滑，一般它不会是0】：

【个人未解决的疑问：拉普拉斯平滑的依据是什么？为什么它就会是最优估计量？】