算法——动态规划——背包问题——二维动态规划解法_二维装箱问题动态规划

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我们从题切入，先看题目要求：

解题思路：

1：我们用到了二维数组，将f[i][j]表示为：将前i个物品放到了总体积为j的包里的情况下，包的最大总价值。

2：那么我们f[i][j]的表示方法如下：

针对第i个物品，我们有两种情况：

      一：不放第i个物体：f[i][j]=f[i-1][j];

      二：放第i个物体：f[i][j]=f[i-1][j-v[i]]+w[i];

          所以f[i][j]=max{情况一,情况二}，即f[i][j]=max{ f[i-1][j], f[i-1][j-v[i]]+w[i] }

基本思路就是如此，下面我们举个例子来帮助大家更好理解：

现在有三个物体，体积价值如下表：

那么我们可以根据f[i][j]这个二位数组得到一个表格：

表格的第一行，我们可以很轻松的写出来

根据第一行得出的数据和上面我们说的公式f[i][j]=max{ f[i-1][j], f[i-1][j-v[i]]+w[i] }，我们可以退推出来剩下所有的表格内容：

示例：上图中绿色表格中内容应该为多少呢？

首先，该表格为f[2][3],那么f[2-1][3]我们根据第一行可知为6，f[1][3-2]+w[2]为16，取两个之间的最大值，所以图中绿色表格数值应为16。

如此下去，整个表格的所有内容都可以得出，即二维数组f[i][j]所有值都可以得出来，所以f[N][V]就可以得出来。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
 
using namespace std;
const int N=1010;
int n,m;//n个物品，背包容量为m
int f[N][N];
int v[N],w[N];//物体的体积和价值
int main(){
    cin>>n>>m;
    //输入物体体积和价值
    for(int i=1;i<=n;i++)//数列下标从1开始，而不是0
    {
        cin>>v[i]>>w[i];
    }
    
    //初始化第一行，这段代码删去其实也可以，只需要将下面初始其他行的代码i的初始值从2改成1即可
    for(int i=0;i<=m;i++)
    {
        //f[1][i]=v[1]<=i?w[1]:0;
        f[1][i]=v[1]<=i?w[1]:0;
    }
    
    //初始化其他行
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j];
            //第i个物体重量小于包总容量再考虑将第i个放入包内
            if(v[i]<=j)
            {
                f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
            }
        }
    }
    //输出最终结果
    cout<<f[n][m]<<endl;
    return 0;
    
    
    
}

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