[数据结构]时间复杂度和空间复杂度详解_论文中如何写时间复杂度

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系列专栏：【数据结构】
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一、数据结构

1.1 什么是数据结构

数据结构(Data Structure)是计算机存储、组织数据的方式，指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。

1.2 什么是算法

算法(Algorithm):就是定义良好的计算过程，他取一个或一组的值为输入，并产生出一个或一组值作为输出。简单来说算法就是一系列的计算步骤，用来将输入数据转化成输出结果。

二、时间复杂度

2.1 算法效率

算法效率分析分为两种：第一种是时间效率，第二种是空间效率。时间效率被称为时间复杂度，而空间效率被称作空间复杂度。 时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度，而空间复杂度主要衡量一个算法所需要的额外空间，在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

2.2 时间复杂度

·时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

·大O的渐进表示法

// 请计算一下Func1基本操作执行了多少次？
void Func1(int N)
{
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < N; ++i)
    {
        for (int j = 0; j < N; ++j)
        {
            ++count;
        }
    }
    for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
    {
        ++count;
    }
    int M = 10;
    while (M--)
    {
        ++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}
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通过计算，上述代码Func1执行的基本操作次数为： F(N) = N² + 2 * N + 10;

在实际计算时间复杂度时，并不需要计算精确的执行次数，只是需要计算大概的执行次数，那么这里需要使用大O的渐进表示法。
大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学1符号。
推导大O阶方法：

1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3. 如果最高阶项系数存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：O(N²)
通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏的情况；在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

2.3 常见时间复杂度计算举例

实例1：

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}
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实例1是一个很普遍的循环，不难计算出实例1的基本操作执行了2N+10次，，通过推导大O阶方法知道，其时间复杂度为：O(N)。

实例2：

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < M; ++k)
	{
		++count;
	}
	for (int k = 0; k < N; ++k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}
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实例2和实例1很相似，实例2基本操作执行了M+N次，通过推导大O阶方法知道，其时间复杂度为：O(M+N)。

实例3：

// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < 100; ++ k)
    {
       ++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}
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实例3基本操作执行了100次，是常数次，所以通过推导大O阶方法知道，其时间复杂度为：O(1)。

实例4：

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}
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实例4是冒泡排序实现qsort的函数，我们知道冒泡排序一趟排序一个元素;假设排序N个元素，那么第一趟执行了N-1次，第二趟执行了N-2次，一直到最后一趟执行一次，那么总共的基本操作执行了N-1 + N-2 + ... ... + 2 + 1，也就是N*(N-1)/2 次，通过大O推导方法知道，其时间复杂度为：O(N²)

实例5:

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
	assert(a);
	int begin = 0;
	int end = n - 1;
	while (begin < end)
	{
		int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
		if (a[mid] < x)
			begin = mid + 1;
		else if (a[mid] > x)
			end = mid;
		else
			return mid;
	}
	return -1;
}
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实例5是计算二分查找的时间复杂度，我们知道二分查找每查找一次可以除去一半的元素，假设有N个有序的元素要在里面查找一个元素，最坏的情况就是找不到；

所以实例5的时间复杂度为：O(log₂N)。

实例6：

// 计算阶乘递归Factorial的时间复杂度？
long long Factorial(size_t N)
{
    return N < 2 ? N : Factorial(N-1)*N;
}
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实例6是计算N的阶乘的函数，即N* (N-1)*(N-2)*....*2*1一共会递归N-1次，每次递归的时间复杂度为1，所以通过大O推导方法知道，其时间复杂度为：O(N)。
实例7：

// 计算斐波那契递归Fibonacci的时间复杂度？
long long Fibonacci(size_t N)
{
    return N < 2 ? N : Fibonacci(N-1)+Fibonacci(N-2);
}
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2.4 常见复杂度对比

三、空间复杂度

3.1 空间复杂度的概念

空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

3.2 常见空间复杂度计算举例

实例1：

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}
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实例1使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为== O(1)==

实例2：

// 计算Fibonacci的空间复杂度？
long long* Fibonacci(size_t n)
{
	if (n == 0)
		return NULL;

	long long* fibArray =
		(long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long));
	fibArray[0] = 0;
	fibArray[1] = 1; for (int i = 2; i <= n; ++i)
	{
		fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
	}
	return fibArray;
}
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实例2动态开辟了N个空间，空间复杂度为 O(N)

实例3:

// 计算阶乘递归Factorial的空间复杂度？
long long Factorial(size_t N)
{
	return N < 2 ? N : Factorial(N - 1) * N;
}

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实例3递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)