cplex整数规划_Branch-and-Cut 解混合整数规划(MIP)

一、混合整数规划基础知识

Gurobi MIP求解器，最常求解的问题形式是：

目标函数: min

约束: A x = b (线性约束)

l ≤ x ≤ u (bound约束)

部分或全部

整数约束使MIP模型可以获得离散特征的决策。比如，某个值为限制为0或1，即0-1约束，可以表示是否采取某个行为，比如决定vehicle是否通过某条路径。

Gurobi MIP求解器还可以求解具有二次目标和(或)二次约束的模型：

目标函数: min

约束: A x = b (线性约束)

l ≤ x ≤ u (bound约束)

部分或全部

具有二次目标但没有二次约束的MIP模型称为混合整数二次规划(Mixed Integer Quadratic Programming, MIQP) 问题。具有二次约束的MIP模型称为混合整数二次约束规划(Mixed Integer Quadratically Constrained Programming, MIQCP)问题。没有任何二次特征的模型通常被称为混合整数线性规划（MILP）问题。

以下是Gurobi用于解决MILP模型的算法的描述， MIQP和MIQCP与此类似。

二、Branch-and-Bound

MILP问题一般用基于branch-and-bound算法的线性规划来解。

1. 总述

基本的基于LP的分支定界如下：

从最初的MIP开始，首先删除所有的整数约束。得到的LP称为原始MIP的线性规划松弛。然后我们解这个LP。如果结果恰好满足所有整数限制，太幸运了，该解决方案是原始MIP的最优解，运算终止。如果结果没有满足所有整数限制（大多数是这种情况），需要选择某个整数约束、实际是小数值的变量进行branch。为了便于说明，假设这个变量是x，它在LP松弛中的值是5.7。然后，我们可以通过施加x≤5.0和x≥6.0的限制来排除该值5.7。

如果原始MIP问题用