有向图的最大环数

leetcode 854

问题描述

给定两个等长字符串A和B，它们所含的字符个数及种类完全一样，问最少需要对A执行多少次交换字符才能使得A变成B？

分析

因为这个问题数据规模很小，只包含6种字符、A和B的长度都不超过20，所以暴力+适当剪枝的思路就能够通过。

首先对于A[i]==B[i]的部分，完全不需要做任何处理；
其次，对于A[i]!=B[i]的部分，显然需要找A[j]来跟A[i]进行交换，A[j]满足A[j]==B[i]。在这个过程中，如果A[i]==B[j]，那自然是“意外之喜”，“一箭双雕”，“一石二鸟”。可以很自信的想：如果能够一箭双雕，必然是最优策略。但是，如果没有“一箭双雕”，那就只能逐个尝试寻找最优的 j 了。假设就选择了j，交换完后得到新的字符串A'，可以递归调用求solve(A’，B)。
在这个递归过程中，因为B是不变的，这个函数只要A确定，返回值就定下来了。所以可以用备忘录方法（记忆化搜索）来加速递归。

站在更宏观的角度考虑这个问题，把每个A字符串当做结点，每一次swap操作会形成新的结点并添加一条边，以上递归的过程相当于深度优先搜索。如果改写成广度优先搜索，运行效率必定能够提高。

站在更宏观的角度考虑这个问题，这是一个很艰难的图论问题。问题等价于寻找有向图的边的一个覆盖，使得每一个子集都是环，要使环数最大。这个问题似乎是个NP问题。
但是贪心的方式足以通过此题。
贪心法则如下：

• 选择每个顶点的最小环构成一个最小环集合，对此集合执行去重操作。
• 如果环集合中存在结点数为1的环，必然选择之。
• 如果环集合中存在结点数为2的环，必然选择之。
• 否则，执行以下步骤。
• 对于这个环集合，统计图中边的使用次数。
• 对每个环，求它边的平均使用次数作为这个环的value。
• 优先消去value最小的环

这个问题等价于：
给定一个可以包含重复元素的数组，最少需要执行多少次swap操作，才能使数组变得有序。

C++递归写法

class Solution {
public:
    unordered_map<string,int> mp;
    int kSimilarity(string A, string B) {
        if(A<B) return kSimilarity(B,A);
        if(mp[A+B]) return mp[A+B];
        int i=0;
        while(i<A.size() && A[i]==B[i]) i++;
        if(i==A.size()) return 0;
        int j=i+1;
        vector<int> pos;
        while(j<A.size()){
            if(A[j]==B[i]){
                if(A[i]==B[j]){
                    pos.clear();
                    pos.push_back(j);
                    break;
                }
                pos.push_back(j);
            };
            j++;
        }
        int res=INT_MAX;
        for(int p:pos){
            swap(A[i],A[p]);
            res=min(res,kSimilarity(A.substr(i+1),B.substr(i+1)));
            swap(A[i],A[p]);
        }
        return mp[A+B]=res+1;
    }
};

Java非递归写法

class Solution {
    public int kSimilarity(String A, String B) {
        if (A.equals(B)) return 0;
        Set<String> vis= new HashSet<>();
        Queue<String> q= new LinkedList<>();
        q.add(A);
        vis.add(A);
        int res=0;
        while(!q.isEmpty()){
            res++;
            for (int sz=q.size(); sz>0; sz--){
                String s= q.poll();
                int i=0;
                while (s.charAt(i)==B.charAt(i)) i++;
                for (int j=i+1; j<s.length(); j++){
                    if (s.charAt(j)==B.charAt(j) || s.charAt(i)!=B.charAt(j) ) continue;
                    String temp= swap(s, i, j);
                    if (temp.equals(B)) return res;
                    if (vis.add(temp)) q.add(temp);
                }
            }
        }
        return res;
    }
    public String swap(String s, int i, int j){
        char[] ca=s.toCharArray();
        char temp=ca[i];
        ca[i]=ca[j];
        ca[j]=temp;
        return new String(ca);
    }
}

Java贪心法

import java.io.FileInputStream;
import java.io.FileNotFoundException;
import java.util.*;
import java.util.stream.Collectors;
 
class Solution {
 
/**
 * 构图，构完图之后，两个字符串就可以丢掉了
 */
int[][] buildGraph(char[] a, char[] b) {
    TreeMap<Character, Integer> ma = new TreeMap<>();
    for (char i : a) {
        if (!ma.containsKey(i)) {
            ma.put(i, ma.size());
        }
    }
    for (char j : b) {
        if (!ma.containsKey(j)) {
            ma.put(j, ma.size());
        }
    }
    int g[][] = new int[ma.size()][ma.size()];
    for (int i = 0; i < a.length; i++) {
        int from = ma.get(b[i]), to = ma.get(a[i]);
        g[from][to] += 1;
    }
    return g;
}
 
/**
 * 计算结点node的出度
 */
int outEdge(int node, int[][] g) {
    return Arrays.stream(g[node]).sum();
}
 
int[][] copyGraph(int[][] g) {
    int[][] a = new int[g.length][g.length];
    for (int i = 0; i < g.length; i++) {
        for (int j = 0; j < g.length; j++) {
            a[i][j] = g[i][j];
        }
    }
    return a;
}
 
/**
 * 寻找node结点所在的最小环
 */
List<List<Integer>> findMinRingOf(int node, int[][] g) {
    g = copyGraph(g);
    List<List<Integer>> rings = new LinkedList<>();
    while (outEdge(node, g) > 0) {
        int[] prev = new int[g.length];//记录最小环的路径
        Arrays.fill(prev, -1);
        Queue<Integer> q = new LinkedList<>();
        q.add(node);
        out:
        while (!q.isEmpty()) {
            Integer i = q.poll();
            for (int j = 0; j < g[i].length; j++) {
                if (g[i][j] > 0) {
                    if (prev[j] != -1) continue;//已经访问过了就不再访问了
                    prev[j] = i;
                    q.add(j);//准备扩展j结点
                    if (j == node) {//找到了
                        break out;
                    }
                }
            }
        }
        ArrayList<Integer> a = new ArrayList<>(g.length);
        a.add(node);
        int now = node;
        while (true) {
            int next = prev[now];
            if (next == node) break;
            a.add(next);
            now = next;
        }
        //翻转数组
        for (int i = 0; i < a.size() >> 1; i++) {
            int temp = a.get(i);
            a.set(i, a.get(a.size() - 1 - i));
            a.set(a.size() - 1 - i, temp);
        }
        if (rings.isEmpty() || rings.get(0).size() == a.size()) {
            rings.add(a);
        } else {
            break;
        }
        removeRing(a, g);
    }
    return rings;
}
 
/**
 * 用完一个环之后，把环删除
 */
void removeRing(List<Integer> ring, int[][] g) {
    for (int i = 0; i < ring.size(); i++) {
        g[ring.get(i)][(ring.get((i + 1) % ring.size()))]--;
    }
}
 
/**
 * 贪心寻找图中最优环
 */
List<Integer> findMinRing(int[][] g) {
    List<List<Integer>> rings = new LinkedList<>();//全部环构成的集合
    for (int i = 0; i < g.length; i++) {
        if (outEdge(i, g) > 0) {
            List<List<Integer>> r = findMinRingOf(i, g);
            rings.addAll(r);
        }
    }
    //去重
    Set<String> had = new TreeSet<>();
    LinkedList<List<Integer>> uniqRings = new LinkedList<>();
    for (List<Integer> ring : rings) {
        String k = ring.stream().sorted().map(x -> x + "").collect(Collectors.joining(","));
        if (!had.contains(k)) {
            had.add(k);
            uniqRings.add(ring);
        }
    }
    rings = uniqRings;
    //统计每条边的使用次数
    double[][] use = new double[g.length][g.length];
    for (List<Integer> ring : rings) {
        for (int j = 0; j < ring.size(); j++) {
            use[ring.get(j)][ring.get((j + 1) % ring.size())]++;
        }
    }
    rings.sort(Comparator.comparing(x -> {
        if (x.size() == 1) return -1.0;//优先级最高
        if (x.size() == 2) return 0.0;//优先级次高
        double s = 0;
        for (int i = 0; i < x.size(); i++) {
            s += use[x.get(i)][x.get((i + 1) % x.size())];
        }
        s /= x.size();
        return s;
    }));
    if (rings.size() == 0) return null;
    return rings.get(0);
}
 
public int kSimilarity(String A, String B) {
    char[] a = A.toCharArray(), b = B.toCharArray();
    int[][] g = buildGraph(a, b);
    int N = a.length;
    while (true) {
        List<Integer> ring = findMinRing(g);
        if (ring == null) break;
        N--;
        removeRing(ring, g);
    }
    return N;
}
 
public static void main(String[] args) {
    try {
        Scanner cin = new Scanner(new FileInputStream("in.txt"));
        System.out.println(new Solution().kSimilarity(cin.next(), cin.next()));
    } catch (FileNotFoundException e) {
        e.printStackTrace();
    }
 
}
}