从零开始-Machine Learning学习笔记(38)-基于SVD的推荐系统_基于svd的推荐系统,v的原字段名称

0. 前言

  本文总结于Peter Harrington的《Machine Learning in Action》的第14章-利用SVD简化数据。

1. 关于SVD与特征值分解

  SVD(Singular Value Decomposition, SVD)奇异值分解。在说及SVD之前，我们需要了解一下特征值分解。学过线性代数都知道，如果一个方阵可以拆成如下的形式：
$$Av=\lambda v$$
则$\lambda$称为特征值，而v称为特征向量，如果这n个特征向量线性无关，那么矩阵就可以分解为如下的形式：
$$A=W\Sigma W^{-1}$$
其中，W是由n个特征向量组成的矩阵，$\Sigma$是由特征值组成的对角阵。通常我们会将W的n个向量进行标准化，即$||W_i|{|}_2=1或者W^{T}W=1$，此时的n个特征向量为标准正交基，满足$W^{T}W=I$， 于是矩阵A就可以分解为：
$$A=W\Sigma W^T$$
这就是矩阵的特征值分解。
  这里我们注意到，特征值分解用于方阵，但是实际问题中，往往不是方阵，所以为了对非方阵的矩阵进行分解，就需要我们的SVD。这里我们假设矩阵A是一个m*n的矩阵。

1. 如果$A{A}^T$，则$A{A}^T$是一个m*m的方阵，对这个方阵进行特征值分解有：
   $$(A{A}^T)u_i={\lambda }_i{u}_i$$
   会得到m个特征值和m个特征向量，这m个特征向量组成一个矩阵U，我们称之为左奇异矩阵
2. 同理，如果$A^{T}A$，则$A^{T}A$是一个n*n的方阵，对这个方阵进行特征值分解有：
   $$(A^{T}A)v_i={\lambda }_i{v}_i$$
   会得到n个特征值和n个特征向量，这n个特征向量组成一个矩阵V，我们称之为右奇异矩阵
3. 将右奇异值矩阵对应的特征值进行开方，得到的结果称为奇异值，将这些奇异值组成对角矩阵$\Sigma$

于是，一个非方阵$A_{m\ast n}$，可以分解为：
$$A_{m\ast n}=U_{m\ast m}{\Sigma }_{m\ast n}{V}_{n\ast n}^T$$
这就是奇异值分解的原理。

2. 基于SVD的推荐系统

  假如我们要对某个用户喜欢的电影进行预测，推荐系统发现一部电影该用户还没有看过，它就会计算该电影与用户看过的电影之间的相似度，如果相似度高，那么系统就会认为该用户也喜欢这部电影。所以，基于SVD的推荐系统的第一件事就是定义相似度。在推荐系统的中，相似度的定义一般有三种方式：欧式距离、皮尔逊相关系数和余弦距离。

2. 1 相似度

(1) 基于欧式距离的相似度：
$$Similarity=\frac{1}{1+distance}$$
如果距离越远，则相似度越小；距离越近，相似度越高。用python可以写为：

from numpy import linalg as la
def ecludSim(inA,inB):
    # 计算基于欧式距离的相似度
    return 1.0/(1.0 + la.norm(inA - inB))
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其中la.norm()计算范数，默认为2范数。

(2) 基于皮尔逊相关系数的相似度：
$$Similarity=0.5+0.5\ast corrcoef()$$

def pearsSim(inA,inB):
    # 计算基于皮尔逊相关系数的相似度
    if len(inA) < 3 : return 1.0
    return 0.5+0.5*corrcoef(inA, inB, rowvar = 0)[0][1]
1
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(3) 基于余弦距离的相似度“：
$$\begin{gathered} Similarity=0.5+0.5\ast cos(\theta ) \\ cos(\theta )=\frac{A\ast B}{||A||||B||} \end{gathered}$$

def cosSim(inA,inB):
    # 计算基于余弦cos距离的相似度
    num = float(inA.T*inB)
    denom = la.norm(inA)*la.norm(inB)
    return 0.5+0.5*(num/denom)
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2.2 使用SVD对未打分的物品进行打分

先看代码：

def svdEst(dataMat, user, simMeas, item):
    '''
    采用SVD奇异值分解的评价函数
    :param dataMat:     数据矩阵
    :param user:        用户【行数】
    :param simMeas:     相似度计算函数
    :param item:        待评价的物品
    :return:
    '''
    # 获取物品的数量
    n = shape(dataMat)[1]
    simTotal = 0.0; ratSimTotal = 0.0
    # 奇异值分解
    U,Sigma,VT = la.svd(dataMat)
    # 选取包含90%能量的奇异值，在这里是前4个Sigma，构成对角矩阵
    Sig4 = mat(eye(4)*Sigma[:4]) #arrange Sig4 into a diagonal matrix
    # 将原数据转化到低维空间中
    xformedItems = dataMat.T * U[:,:5] * Sig4.I  #create transformed items

    for j in range(n):
        # 取出user对物品j的打分
        userRating = dataMat[user,j]
        # 如果打分为0或者j等于待打分物品 ，就跳过
        if userRating == 0 or j==item: continue
        # 计算物品j与物品item在低维空间中的相似度
        similarity = simMeas(xformedItems[item,:].T,\
                             xformedItems[j,:].T)
        print ('the %d and %d similarity is: %f' % (item, j, similarity))
        simTotal += similarity
        ratSimTotal += similarity * userRating
    if simTotal == 0: return 0
    # 返回关于物品item的打分
    else: return ratSimTotal/simTotal
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(1)首先获取物品的数量，然后进行奇异值分解，选取包含90%能量以上的奇异值。即计算$\Sigma$中前多少个奇异值之和能达到所有奇异值和的90%。这里选择的是5，这个5是基于测试数据：

def loadExData2():
    return[[0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 5],
           [0, 0, 0, 3, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 3],
           [0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 1, 0, 4, 0],
           [3, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0],
           [5, 4, 5, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 0, 0],
           [0, 0, 0, 0, 5, 0, 1, 0, 0, 5, 0],
           [4, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 0, 1],
           [0, 0, 0, 4, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 4],
           [0, 0, 0, 2, 0, 2, 5, 0, 0, 1, 2],
           [0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 4, 0],
           [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 0]]
# 对其进行奇异值分解有：
dataMat = mat(loadExData2())
U, Sigma, VT = la.svd(dataMat)
print('Sigma = ',Sigma)
print('Ratio = ',sum( Sigma[:5]) / sum(Sigma))
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Sigma = [15.77075346 11.40670395 11.03044558 4.84639758 3.09292055 2.58097379
1.00413543 0.72817072 0.43800353 0.22082113 0.07367823]
Ratio = 0.9014360861521987

(2)然后将原数据矩阵转化到低维空间中：

xformedItems = dataMat.T * U[:,:5] * Sig4.I 
1

这句话很多人都不理解，为什么是这个样子的。我后来在机器学习实战的P264中代码对应的公式推导中找到了答案，其实就是一个很简单的线性变换：
$$A_{m\ast n}\simeq U_{m\ast k}{\Sigma }_{k\ast n}{V}_{n\ast k}^T$$
其中$V_{n\ast k}$就是A在低维空间中的映射。现在只需要反解出来就可以了：
$$\begin{gathered} U_{m\ast k}^{-1}{A}_{m\ast n}\simeq U_{m\ast k}^{-1}{U}_{m\ast k}{\Sigma }_{k\ast n}{V}_{n\ast k}^T \\ {U}_{k\ast m}{A}_{m\ast n}\simeq U_{k\ast m}{U}_{m\ast k}{\Sigma }_{k\ast n}{V}_{n\ast k}^T \\ 由于U_{k\ast m}是正交阵，有： \\ {U}_{k\ast m}{A}_{m\ast n}\simeq E_{k\ast k}{\Sigma }_{k\ast n}{V}_{n\ast k}^T \\ {\Sigma }_{k\ast n}^{-1}{U}_{k\ast m}{A}_{m\ast n}\simeq {\Sigma }_{k\ast n}^{-1}{\Sigma }_{k\ast n}{V}_{n\ast k}^T \\ 于是：V_{n\ast k}^T={\Sigma }_{k\ast n}^{-1}{U}_{k\ast m}{A}_{m\ast n} \\ 两边同时转置：V_{n\ast k}=({\Sigma }_{k\ast n}^{-1}{U}_{k\ast m}{A}_{m\ast n}{)}^T=A_{m\ast n}^T{U}_{m\ast k}{\Sigma }_{k\ast n}^{-1} \end{gathered}$$

(3)对于每一个物品，计算与物品item在低维空间的中的相似度，遇到user打分为0或者j==item时就跳过。将这些相似度进行累加，对相似度与rating的乘积也进行累加，最后返回两者的比值：
$$\begin{gathered} Rati{o}_{p}red=\frac{ratSimTotal}{simTotal} \\ =\frac{{\sum }_i{s}_i{R}_i}{{\sum }_i{s}_i} \end{gathered}$$
这个比值其实就是预测用户user在物品item上的打分，这个结果就是将用户对于其他物品打分的分值进行加权平均。而这个权值就是相似度。

2.3 基于SVD的推荐函数

  有了上述的打分函数，我们只需要遍历某个user没有打分的物品，使用打分函数$svdEst()$进行打分，最后返回得分最高的N个物品，推荐给用户user。

def recommend(dataMat, user, N=3, simMeas=cosSim, estMethod=standEst):
    '''
    推荐函数
    :param dataMat:     数据集
    :param user:        待推荐用户
    :param N:           推荐的个数
    :param simMeas:     相似度函数
    :param estMethod:   打分函数
    :return:            返回N个推荐的物品及其预测的得分
    '''
    # 找到用户user没有打分的物品
    unratedItems = nonzero(dataMat[user, :].A == 0)[1] #find unrated items
    # 如果没有未评价的物品，直接返回
    if len(unratedItems) == 0: return 'you rated everything'
    itemScores = []
    # 对于用户user没有评价的每个物品
    for item in unratedItems:
        # 计算该物品的得分
        estimatedScore = estMethod(dataMat, user, simMeas, item)
        # 把该物品及其得分加入到list中
        itemScores.append((item, estimatedScore))
    # 按照得分进行排序，并返回前N个物品
    return sorted(itemScores, key=lambda jj: jj[1], reverse=True)[:N]
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3. 基于SVD的图像压缩

  SVD除了在推荐系统上有着很好的应用，也能应用在图像压缩上。将图像矩阵进行奇异值分解SVD，然后提取能使能量大于90%的前N个奇异值极其对应的左右奇异值矩阵。原来很大的图像，就可以用简单的左奇异矩阵U和右奇异矩阵V以及奇异值$\Sigma$来表示，最后通过三者的乘积就可以复原图片。

4. SVD的评价

优点： 简化数据，去除噪声点，提高算法的结果；
缺点： 数据的转换可能难以理解；
适用于数据类型：数值型。
​ 通过SVD对数据的处理，我们可以使用小得多的数据集来表示原始数据集，这样做实际上是去除了噪声和冗余信息，以此达到了优化数据、提高结果的目的。

参考资料

奇异值分解(SVD)原理与在降维中的应用
奇异值分解(SVD)原理详解
机器学习实战的P264中代码对应的公式推导
机器学习实战——SVD（奇异值分解）