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人工智能-高等数学之微积分篇_以人工智能为背景与高等数学中的二重积分结合编写一道高数题

以人工智能为背景与高等数学中的二重积分结合编写一道高数题

高等数学之微积分篇

接着上一篇《人工智能-高等数学之导数篇》,继续学习汇总微积分的知识,微分和导数外形很相似,导致有时候傻傻的分不清楚,在查找无数资料之后我找到了一个能够被理解的说法,导数是函数图像在某一点处的斜率,是纵坐标增量(Δy)和横坐标增量(Δx)在Δx–>0时的比值。而微分是指函数图像在某一点处的切线在横坐标取得增量Δx以后,纵坐标取得的增量,一般表示为dy。积分是微分的逆运算,即知道了函数的导函数,反求原函数。还有一种简要的概括说法,导数描述的是函数在一点处的变化快慢的趋势,是一个变化的速率,微分描述的是函数从一点(移动一个无穷小量)到另一点的变化幅度,是一个变化的量

1. 微分的定义

数学定义:设函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在某区间内有定义, x 0 x_0 x0 x 0 + Δ x x_0+\Delta x x0+Δx在这区间内,如果增量 Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) Δy=f(x0+Δx)f(x0)可以表示为 Δ y = A Δ x + o ( Δ x ) \Delta y=A\Delta x+o(\Delta x) Δy=AΔx+o(Δx),其中A是不依赖于 Δ x \Delta x Δx的常数,那么称函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在点 x 0 x_0 x0是可微的,而 A Δ x A\Delta x AΔx叫做函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在点 x 0 x_0 x0相应于自变量增量 Δ x \Delta x Δx的微分,记作dy,即 d y = A Δ x dy=A\Delta x dy=AΔx

2. 微分系数和导函数

f ( x ) f(x) f(x)是定义在区间 I I I上的函数,如果a是区间 I I I内的一点,那么 f ( x ) − f ( a ) x − a \frac{f(x)-f(a)}{x-a} xaf(x)f(a)是定义在区间 I I I内除了a以外的x点上的函数,此时如果存在极限:
lim ⁡ x → a f ( x ) − f ( a ) x − a , \lim _{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}, xalimxaf(x)f(a),那么就称 f ( x ) f(x) f(x)在点a处可微,或者称在x=a处可微,并称此极限为函数 f ( x ) f(x) f(x)在点a处的微分系数,记为 f ′ ( a ) f^\prime (a) f(a)
f ′ ( a ) = lim ⁡ x → a f ( x ) − f ( a ) x − a , f^\prime (a)=\lim _{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}, f(a)=xalimxaf(x)f(a)
当函数 f ( x ) f(x) f(x)在所属区间内的任意点 x x x处均可微时,则称函数 f ( x ) f(x) f(x)可微,或称 f ( x ) f(x) f(x)关于x可微。此时 f ′ ( x ) f^\prime (x) f(x)也是定义在区间 I I I上的关于x的函数。称 f ′ ( x ) f^\prime(x) f(x)为函数 f ( x ) f(x) f(x)导函数,求函数 f ( x ) f(x) f(x)的导函数 f ′ ( x ) f^\prime (x) f(x),称为对函数 f ( x ) f(x) f(x)进行微分,或函数 f ( x ) f(x) f(x)关于x进行微分。
所以在数学表达上,如果对于函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x),存在 d y = f ′ ( x ) d x dy=f^\prime (x)dx dy=f(x)dx,称 d y dy dy y y y的微分或 f ( x ) f(x) f(x)的微分。
莱布尼茨对导数的记法:

f ′ ( x ) = d y d x ⇒ d y ⇒ f ′ ( x ) d x f^\prime (x)= \frac{dy}{dx} \Rightarrow dy \Rightarrow f^\prime (x) dx f(x)=dxdydyf(x)dx

从中我们可以看出,导数是 y y y的微分与 x x x微分的比值,所以导数也叫做微商(两个微分的商)

给出原始公式,如下:
d y d x = lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x \frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} dxdy=Δx0limΔxΔy=Δx0limΔxf(x0+Δx)f(x0)

3. 初等函数的微分公式
导数公式微分公式
( n x ) ′ = n , n ∈ R (nx)^\prime=n,n \in R (nx)=n,nR d ( n x ) = n d x , n ∈ R d(nx)=ndx,n \in R d(nx)=ndx,nR
( x n ) ′ = n x n − 1 , n ∈ R (x^n)^\prime=nx^{n-1},n \in R (xn)=nxn1,nR d ( x n ) = n x n − 1 d x , n ∈ R d(x^n)=nx^{n-1}dx,n \in R d(xn)=nxn1dx,nR
( sin ⁡ x ) ′ = cos ⁡ x (\sin x)^\prime=\cos x (sinx)=cosx d ( sin ⁡ x ) = cos ⁡ x d x d(\sin x)=\cos xdx d(sinx)=cosxdx
( cos ⁡ x ) ′ = − sin ⁡ x (\cos x)^\prime=-\sin x (cosx)=sinx d ( cos ⁡ x ) = − sin ⁡ x d x d(\cos x)=-\sin xdx d(cosx)=sinxdx
( a x ) ′ = a x ln ⁡ a (a^x)^\prime=a^x\ln a (ax)=axlna d ( a x ) = a x ln ⁡ a d x d(a^x)=a^x\ln a dx d(ax)=axlnadx
4. 函数和差积商的微分法则
和差积商的 求导法则和差积商的 微分法则
( u ± v ) ′ = u ′ ± v ′ (u\pm v)^\prime=u^\prime \pm v^\prime (u±v)=u±v d ( u ± v ) = d u ± d v d(u\pm v)=du \pm dv d(u±v)=du±dv
( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ (uv)^\prime=u^\prime v+uv^\prime (uv)=uv+uv d ( u v ) = d u v + u d v d(uv)=duv+udv d(uv)=duv+udv
( C v ) ′ = C v ′ (Cv)^\prime=Cv^\prime (Cv)=Cv d ( C v ) = C d v d(Cv)=Cdv d(Cv)=Cdv
( u v ) ′ = ( u ′ v − u v ′ ) v 2 (\frac{u}{v})^\prime =\frac{(u^\prime v-uv^\prime)}{v^2} (vu)=v2(uvuv) d ( u v ) = ( d u v − u d v ) v 2 d(\frac{u}{v}) =\frac{(du v-udv)}{v^2} d(vu)=v2(duvudv)
5. 不定积分与定积分

根据牛顿-莱布尼茨公式,许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系:定积分是一个数,而不定积分是一个表达式,它们仅仅是数学上有一个计算关系。一个函数,可以存在不定积分,而不存在定积分,也可以存在定积分,而没有不定积分。

5.1 不定积分

如果有一个关于x的函数G(x),g(x)是G(x)的导数,即, G ′ ( x ) = g ( x ) G^\prime(x)=g(x) G(x)=g(x),则式子 G ( x ) = ∫ g ( x ) d x G(x)=\int g(x)dx G(x)=g(x)dx 称为g(x)dx的不定积分,其中g(x)dx是G(x)的微分,对微分的积分是原函数,所以微分和积分互为反函数。所以求解不定积分的方法就是将导数逆推。例如:
∫ sin ⁡ x d x = ? \int \sin x dx=? sinxdx=,如果 G ( x ) = − cos ⁡ x G(x)=- \cos x G(x)=cosx,则 G ′ ( x ) = sin ⁡ x G^\prime (x)=\sin x G(x)=sinx,所以 ∫ sin ⁡ x d x = − cos ⁡ x + C \int \sin x dx=- \cos x+C sinxdx=cosx+C,其中C是一个任意常数,因为C不确定大小,它是不定的,不是一个确切的函数,所以才叫做不定积分。

5.2 定积分

数学定义:设函数f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入若干个分点 a < x 0 < x 1 < x 2 < ⋯ < x n − 1 < x n = b a<x_0<x_1<x_2< \cdots<x_{n-1}<x_n=b a<x0<x1<x2<<xn1<xn=b,把区间[a,b]分成n个小区间 [ x 0 , x 1 ] , [ x 1 , x 2 ] , ⋯   , [ x n − 1 , x n ] [x_0,x_1],[x_1,x_2],\cdots,[x_{n-1},x_n] [x0,x1],[x1,x2],,[xn1,xn] ,各个小区间的长度依次为 Δ x 1 = x 1 − x 0 , Δ x 2 = x 2 − x 1 , ⋯   , Δ x n = x n − x n − 1 \Delta x_1=x_1-x_0,\Delta x_2=x_2-x_1,\cdots,\Delta x_n=x_n-x_{n-1} Δx1=x1x0,Δx2=x2x1,,Δxn=xnxn1,在每个小区间 [ x i − 1 , x i ] [x_{i-1},x_i] [xi1,xi] 上取任意一点 ξ ( x i − 1 ≤ ξ i ≤ x i ) \xi(x_{i-1}\leq\xi_i\leq x_i) ξ(xi1ξixi),作函数值 f ( ξ ) f(\xi) f(ξ) 与小区间长度 Δ x i \Delta x_i Δxi 的乘积 f ( ξ ) Δ x i , ( i = 1 , 2 , 3 , ⋯   , n ) f(\xi)\Delta x_i,(i=1,2,3,\cdots,n) f(ξ)Δxi(i=1,2,3,,n),并作出和
S = ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i (1) S=\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i \tag1 S=i=1nf(ξi)Δxi(1)
λ = m a x { Δ x 1 , Δ x 2 , ⋯   , Δ x n } \lambda=max\{\Delta x_1,\Delta x_2,\cdots,\Delta x_n\} λ=max{Δx1,Δx2,,Δxn},如果不论对[a,b]怎样划分,也不论在小区间 [ x i − 1 , x i ] [x_{i-1},x_i] [xi1,xi] 上的点 ξ \xi ξ 怎样选取,只要当 λ → 0 \lambda \rightarrow0 λ0 时,和S总趋于确定的极限 I I I,那么称这个极限 I I I 为函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [a,b] 上的定积分,简称积分,记作 ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx abf(x)dx,即

∫ a b f ( x ) d x = I = lim ⁡ λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i (2) \int_a^bf(x)dx=I=\lim_{\lambda \rightarrow0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i \tag2 abf(x)dx=I=λ0limi=1nf(ξi)Δxi(2)
其中f(x)叫做被积函数,f(x)dx叫做被积表达式,x 叫做积分变量,a叫做积分下限,b叫做积分上限,[a,b] 叫做积分区间。

6. python计算代码

手算太累了,还是交给Python吧,它擅长这个。

import sympy as sp

if __name__ == '__main__':

    # 定义自变量x,表示对x求导
    x = sp.symbols('x', real=True)
    f1 = 2 * x + 1
    derivative = sp.diff(f1, x)
    print('f1=%s' % derivative)
    f2 = x ** 2 + 4
    derivative = sp.diff(f2, x)
    print('f2=%s' % derivative)
    f3 = sp.sin(x)
    derivative = sp.diff(f3, x)
    print('f3=%s' % derivative)
    # 求高阶导数
    f4 = x ** 10
    for n in range(1, 12):
        # 计算n阶导数
        D = sp.diff(f4, x, n)
        print('D%d=%s' % (n, D))

    # 定义被积函数
    fx1 = x ** 2
    fx2 = sp.cos(x)
    fx3 = 1 / (1 + x ** 2)

    # 计算不定积分
    r1 = sp.integrate(fx1, x)
    r2 = sp.integrate(fx2, x)
    r3 = sp.integrate(fx3, x)
    print('∫ x^2dx=%s' % r1)
    print('∫ cosx dx=%s' % r2)
    print('∫ 1/(1+x^2)dx=%s' % r3)

    # 求解定积分
    fx4 = sp.sqrt(4 - x**2) / 2
    r4 = sp.integrate(fx4, (x, -2, 2))
    print('∫a->bsqrt(4-x^2)/2dx=%s' % r4)

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