【Computer Graphics】计算机图形学之基础变换矩阵_剪切变换

   变换矩阵 (Transformation Marices)在图形学中的重要性不用多说，一切物体的 缩放， 旋转， 位移，都可以通过变换矩阵作用得到。同时在 投影 (projection) 变换的时候也有很多应用，本文将会介绍一些简要的变换矩阵。

  我们将如下式所示的简单矩阵乘法定义为对向量$(x,y{)}^T$的线性变换。
[ a 11 a 12 a 21 a 22 ] [ x y ] = [ a 11 x + a 12 y a 21 x + a 22 y ]

$$\begin{bmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}\\ \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} {x}\\ {y}\\ \end{bmatrix}$$ = $$\begin{bmatrix} {a_{11}x}+{a_{12}y}\\ {a_{21}x}+{a_{22}y}\\ \end{bmatrix}$$ [a11​a21​​a12​a22​​][xy​]=[a11​x+a12​ya21​x+a22​y​]

一、缩放变换(scaling)

  缩放变换是一种沿着坐标轴作用的变换，定义如下：
s c a l e ( s x , s y ) = [ s x 0 0 s y ] scale(s_x,s_y) =

$$\begin{bmatrix} {s_x}&{0}\\ {0}&{s_y}\\ \end{bmatrix}$$ scale(sx​,sy​)=[sx​0​0sy​​]

  该矩阵对带有笛卡尔分量的向量进行了变化，将所有的点变为$(s_{x}x,s_{y}y{)}^T$。
[ s x 0 0 s y ] [ x y ] = [ s x x s y y ] .

$$\begin{bmatrix} {s_x}&{0}\\ {0}&{s_y}\\ \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} { x}\\ { y}\\ \end{bmatrix}$$ = $$\begin{bmatrix} { s_xx}\\ { s_yy}\\ \end{bmatrix}$$ . [sx​0​0sy​​][xy​]=[sx​xsy​y​].

示例1：均匀缩放

  上图为将 $x$ 和 $y$ 均匀缩小2倍的矩阵，轴对齐的缩放矩阵具有比例，每个对角线元素的变化，而非对角线元素的变化为零。

示例2：非均匀缩放

  此例将原图在水平方向上减半，在垂直方向上增加三倍。缩放矩阵是对角的，且为不相等元素。此时，时钟的方形轮廓变成了矩形，而圆形的面变成了矩形一个椭圆。

二、反射变换(Reflection)

  反射变换是一种基础的线性变换，我们可以通过上诉的缩放变换来反射任意坐标轴上的向量。
关于 $y$ 轴反射可通过将所有 $x$ 坐标乘以 $-1$ 来实现：
r e f l e c t − y = [ − 1 0 0 1 ] reflect-y=

$$\begin{bmatrix} {-1}&{0}\\ {0}&{1}\\ \end{bmatrix}$$ reflect−y=[−10​01​]

关于 $x$ 轴反射可通过将所有 $y$ 坐标乘以 $-1$ 来实现：
r e f l e c t − x = [ 1 0 0 − 1 ] . reflect-x=

$$\begin{bmatrix} {1}&{0}\\ {0}&{-1}\\ \end{bmatrix}$$ . reflect−x=[10​0−1​].

三、剪切变换(Shearing)

  剪切变换直观理解就是把物体一边固定，然后拉另外一边。水平和垂直剪切矩阵定义如下：
s h e a r − x ( s ) = [ 1 s 0 1 ] ， s h e a r − y ( s ) = [ 1 0 s 1 ] . shear - x(s) =

$$\begin{bmatrix} {1}&{s}\\ {0}&{1}\\ \end{bmatrix}$$ ，shear - y(s) = $$\begin{bmatrix} {1}&{0}\\ {s}&{1}\\ \end{bmatrix}$$ . shear−x(s)=[10​s1​]，shear−y(s)=[1s​01​].
$shear-x(s)$与$shear-y(s)$分别对应了向"拉伸"x轴，和"拉伸"y轴。

示例1：水平剪切的转换

变换矩阵为：
s h e a r − x ( s ) = [ 1 1 0 1 ] . shear - x(s) =

$$\begin{bmatrix} {1}&{1}\\ {0}&{1}\\ \end{bmatrix}$$ . shear−x(s)=[10​11​].

示例2：垂直剪切的转换

剪切矩阵使 $y$ 轴点按其横坐标的比例向上移动变换矩阵为：
s h e a r − y ( s ) = [ 1 0 1 1 ] . shear - y(s) =

$$\begin{bmatrix} {1}&{0}\\ {1}&{1}\\ \end{bmatrix}$$ . shear−y(s)=[11​01​].

  在这两种情况下，被剪切的时钟的方形轮廓变成了一个平行四边形，被剪切的钟的圆形表面变成了椭圆形。

  另一种考虑剪切的方法是只考虑垂直方向或水平方向的旋转轴。沿垂直轴顺时针旋转角度为 $\phi$ 的剪切矩阵为：
[ 1 t a n φ 0 1 ] .

$$\begin{bmatrix} {1}&{tan\varphi}\\ {0}&{1}\\ \end{bmatrix}$$ . [10​tanφ1​].
同理，沿水平轴逆时针倾斜角度为 $\phi$ 的剪切矩阵为：
$$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ tan\phi & 1\end{array}\right].$$

四、旋转变换(Rotation)

  假设需要让向量 $a$ 逆时针旋转一个角度 $\varphi$ ，从而得到向量 $b$。若向量 $a$ 与 $x$ 轴的夹角为 $\alpha$ ，则向量 $a$ 的长度为 $r=\sqrt{x_{\alpha }^2+y_{\alpha }^2}$，且
{ x α = r c o s α y α = r s i n α

$$\begin{cases} x_\alpha &= rcos\alpha \\ y_\alpha &= rsin\alpha \\ \end{cases}$$ {xα​yα​​=rcosα=rsinα​
  由于向量 $b$ 是向量 $a$ 经过旋转得到的，故其长度同样为 $r$ ，此时向量 $b$ 与 $x$ 轴夹角为 $(\alpha +\varphi )$。使用三角变换得到：
$$\begin{gathered} x_b=rcos(\alpha +\varphi )=rcos\alpha cos\varphi -rsin\alpha sin\varphi \\ {y}_b=rsin(\alpha +\varphi )=rsin\alpha cos\varphi +rcos\alpha sin\varphi \end{gathered}$$
已知 $x_{\alpha }=rcos\alpha$ 和 $y_{\alpha }=rsin\alpha$，则向量 $b$ 的坐标可改写为：
$$\begin{gathered} x_b=x_{a}cos\varphi -y_{a}sin\varphi \\ {y}_b=x_{a}sin\varphi +y_{a}cos\varphi \end{gathered}$$

  我们希望仅用一个变换矩阵表示将向量 $a$ 旋转到向量 $b$ ，根据上式，可写出该旋转变换矩阵为：
r o t a t e ( ϕ ) = [ c o s ϕ − s i n ϕ s i n ϕ c o s ϕ ] . rotate(\phi) =

$$\begin{bmatrix} {cos\phi}&{-sin\phi}\\ {sin\phi}&{cos\phi}\\ \end{bmatrix}$$ . rotate(ϕ)=[cosϕsinϕ​−sinϕcosϕ​].

旋转变换方程可写为：
[ x b y b ] = [ c o s ϕ − s i n ϕ s i n ϕ c o s ϕ ] [ x a y a ] .

$$\begin{bmatrix} {x_b}\\ {y_b}\\ \end{bmatrix}$$ = $$\begin{bmatrix} {cos\phi}&{-sin\phi}\\ {sin\phi}&{cos\phi}\\ \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} { x_a}\\ { y_a}\\ \end{bmatrix}$$ . [xb​yb​​]=[cosϕsinϕ​−sinϕcosϕ​][xa​ya​​].

示例：将原图逆时针旋转45°，原点为旋转中心

[ c o s π 4 − s i n π 4 s i n π 4 c o s π 4 ] = [ 0.707 − 0.707 0.707 0.707 ]

$$\begin{bmatrix} {cos \frac{\pi}{4}}&{-sin\frac{\pi}{4}}\\ {sin\frac{\pi}{4}}&{cos\frac{\pi}{4}}\\ \end{bmatrix}$$ = $$\begin{bmatrix} {0.707}&{-0.707}\\ {0.707}&{0.707}\\ \end{bmatrix}$$ [cos4π​sin4π​​−sin4π​cos4π​​]=[0.7070.707​−0.7070.707​]

五、平移变换(Translation)

  为了通过 变换矩阵实现图像的平移(Translation)操作，我们引入一维新的坐标，称之为齐次坐标。使 $(x,y{)}^T$ -> $(x,y,1{)}^T$。
  最后一维为1时，$(x,y,1{)}^T$ 表示一个二维坐标点, 最后一维为0时，$(x,y,0{)}^T$ 表示一个二维向量。

  此时即可用一个变换矩阵表示线性变换，且实现图像平移：
[ x ′ y ′ 1 ] = [ m 11 m 12 x t m 21 m 22 y t 0 0 1 ] [ x y 1 ] = [ m 11 x + m 12 y + x t m 21 x + m 22 y + y t 1 ]

$$\begin{bmatrix} {x'}\\ {y'}\\ {1}\\ \end{bmatrix}$$ = $$\begin{bmatrix} {m_{11}}&{m_{12}}&{x_t}\\ {m_{21}}&{m_{22}}&{y_t}\\ {0}&{0}&{1}\\ \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} { x}\\ { y}\\ {1}\\ \end{bmatrix}$$ = $$\begin{bmatrix} {m_{11}x+m_{12}y+{x_t}}\\ {m_{21}x+m_{22}y+{y_t}}\\ {1}\\ \end{bmatrix}$$ ⎣⎡​x′y′1​⎦⎤​=⎣⎡​m11​m21​0​m12​m22​0​xt​yt​1​⎦⎤​⎣⎡​xy1​⎦⎤​=⎣⎡​m11​x+m12​y+xt​m21​x+m22​y+yt​1​⎦⎤​

注意：
[ x y ω ]

$$\begin{bmatrix} { x}\\ { y}\\ {\omega}\\ \end{bmatrix}$$ ⎣⎡​xyω​⎦⎤​的二维坐标点是$\left[\begin{array}{c}x/\omega \\ y/\omega \\ 1\end{array}\right]$

绕任意坐标轴旋转

参考
[1] Fundamentals of Computer Graphics 4th