单位张量叉乘_科学字典|第十五期：嘿，你见过张量吗？

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我们 都是海边拾贝壳的孩子

如果有人问你：“日常生活中有哪些物理量是标量？”你可能会回答：这个简单！有时间、温度、能量……

“有哪些物理量是矢量？”这个也不难，速度、动量、电场……

“有哪些物理量是矩阵？”

刚看到这题，你可能大脑一片空白，不过细想还是有的，比如手机上的九键键盘就很像一个矩阵。矩阵也称作二阶张量，大家可能听说过“张量”，那一般就是指矩阵，以下我便统一用“张量”代指矩阵。生活中属于张量的物理量确实不多见，不如跟我一起找找看吧！

定义物理量

要想找到什么物理量是张量，首先应该知道物理量是如何产生的。想一想我们过去学过的种种物理量，大部分都有一个明确的数学表达式，比如速度v，动量p，但还有一些物理量仿佛是天然存在的，比如位矢(表示位置的矢量)r，时间t，它们没有办法用一个数学运算式来表示。

据此，我们把物理量按定义方法分为两种，一是模型量，它们来自于我们为物理世界构建的数学模型，例如用一个三维空间中的矢量r描述物体的位置，用一个标量t来描述时间；二是运算量，它由其他物理量通过各种运算得到。两者并不是严格区别，比如温度，一开始定义为“描述冷热程度的量”，但后来发现它可以用分子动能表示。

张量之所以罕见是因为很少有模型要用到张量，所以我们不妨从运算量里寻找。那么可能有人要问了，通过什么运算能得到张量呢——那就要有请泰勒展开了！！

泰勒展开

考虑一个二维矢量f，它的每个分量都是关于x和y的二元函数，那么它的泰勒展开可以写成如下形式：

我们假设当(x,y)为零时(f1,f2)也为零(这对于两个物理量来说常常成立)，于是右边的第一项就可以删去。然后我们发现，某个张量描述了(f1,f2)和(x,y)之间的比例关系。因此，如果我们去找寻两个矢量物理量之间的关系，常常可以发现一个张量的存在。

比如刚体角动量和角速度。我们学过它们的的关系L=Jω，其中J是转动惯量。如果J是一个标量的话，那么L和ω始终是同向的，但实际上并非如此。例如，一根斜着的杆，绕一个顶点转动。相对于该顶点，很明显角速度的方向向上，而杆上每个点的角动量方向都垂直于杆。因此J不是标量，而是一个张量。张量中每个分量的物理意义也比较容易理解：J的xy分量表示绕y轴的转动产生的角动量的x分量。

动量流密度T也是一个张量。动量流密度描述的是单位时间内穿过某个面元的动量的多少，由于动量是一个矢量，面元也用一个法向矢量描述，所以动量流密度需要用张量表示，满足关系dp=TdS，T的xy分量描述的是穿过y方向面元的动量的x分量。

叉乘与赝矢量

       通过寻找两个矢量物理量之间的比例关系，我们已经可以找到很多张量了。但在日常生活中，还有一类更隐蔽，却更常见的张量，比如角速度。

 角速度怎么会是张量呢？？别急，让我们先来看看，角速度作为矢量，与其他矢量有什么不同的地方。

       想象一个普通矢量在镜子里的像，若该矢量平行于镜面，则像的方向不变；若垂直于镜面，则方向相反。但从图中可以看出，角速度矢量的方向改变却与之相反。我们把具有这种性质的矢量称为赝矢量。You! Fake vector! Next one!

       还有许多常见的矢量也是赝矢量，比如角动量，磁场强度。聪明的你可能发现了，它们或多或少都与叉乘有关。没错，由叉乘产生的量都是赝矢量。本质上它们应该是一个反对称张量，例如磁场，它应为如下形式。但由于反对称，所以它只有三个分量是独立的，且这三个分量又恰好满足一些矢量的性质，因此就可以用矢量来描述它了。

原来生活中居然有这么多张量！

排版，文案：卢泽嘉

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