12灰色模型的检验_灰色预测模型事前检验

灰色模型的检验

   前两篇博客说了灰色预测的基本步骤，其中讲了两种检验模型的方法，本次再具体地说一下灰色模型的检验方法。

   设有 $n$ 个原始数据$x^{(0)}=(x^{(0)}(1),x^{(0)}(2),...,,x^{(0)}(n))$，以及由灰色模型预测的值${\hat{x}}^{(0)}=({\hat{x}}^{(0)}(1),{\hat{x}}^{(0)}(2),...,,{\hat{x}}^{(0)}(n))$。

  1 残差检验
   令残差${ϵ}^{(0)}(k)$为：

$${ϵ}^{(0)}(k)=x^{(0)}(k)-{\hat{x}}^{(0)}(k),k=1,2,3,...,n\text{\hspace{1em}(1)}$$

$${ϵ}^{(0)}=({ϵ}^{(0)}(1),{ϵ}^{(0)}(2),...,,{ϵ}^{(0)}(n))\text{\hspace{1em}(2)}$$

   令相对误差${\Delta }^{(0)}(k)$为：

$${\Delta }^{(0)}(k)=\left|\frac{{ϵ}^{(0)}(k)}{x^{(0)}(k)}\right|=\left|\frac{x^{(0)}(k)-{\hat{x}}^{(0)}(k)}{x^{(0)}(k)}\right|,k=1,2,3,...,n\text{\hspace{1em}(3)}$$

$${\Delta }^{(0)}=({\Delta }^{(0)}(1),{\Delta }^{(0)}(2),...,,{\Delta }^{(0)}(n))\text{\hspace{1em}(4)}$$

   对于$k\le n$，定义$k$点模拟相对误差为：

$${\Delta }_k=\left|\frac{{ϵ}^{(0)}(k)}{x^{(0)}(k)}\right|\text{\hspace{1em}(5)}$$

   定义平均相对误差:

$$\bar{\Delta }=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\Delta }_k\text{\hspace{1em}(6)}$$

   称$1-\bar{\Delta }$ 为平均相对精度，称$1-{\Delta }_k$ 为 $k$ 点模拟精度；给定一个阈值$\alpha$ ，如果$\bar{\Delta }<\alpha$且 ${\Delta }_k<\alpha$成立时，称模型为残差合格模型。

  2 级比偏差值检验
   计算级比${\lambda }^{(0)}(k)$（可参考之前博客），已经在模型建立阶段计算了发展系数$a$，那么计算相应的级比偏差：

$$\rho (k)=1-\left(\frac{1-0.5a}{1+0.5a}\right){\lambda }^{(0)}(k)\text{\hspace{1em}(7)}$$

   如果所有的$\rho (k)$均小于0.2，则认为模型可行，当然$\rho (k)$越小越好。如果所有的$\rho (k)$均小于0.1，则认为模型达到较高的要求。

  3 关联度合格检验

   之前的博客介绍了怎么计算两个数列的关联度，如果两个数列差别越小，那么关联度越高。现在我们有原始数列以及由灰色模型预测的数列，我们的目标是让预测的数列和原始数列尽可能一样，那也就是说两个数列的关联度要越大越好。设$g^{(0)}$为原始数列$x^{(0)}$和预测数列${\hat{x}}^{(0)}$的绝对关联度，若$g^{(0)}$大于给定的$g_0^{(0)}$，则称模型为关联度合格模型。

  4 均方差比合格模型

   定义$x^{(0)}$的均值和方差分别为：

$$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{x}^{(0)}(k)\text{\hspace{1em}(8)}$$

$$S_1^2=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n(x^{(0)}(k)-\bar{x}{)}^2\text{\hspace{1em}(9)}$$

   定义${ϵ}^{(0)}$的均值和方差分别为：

$$\overline{ϵ}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{ϵ}^{(0)}(k)\text{\hspace{1em}(10)}$$

$$S_2^2=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n({ϵ}^{(0)}(k)-\overline{ϵ}{)}^2\text{\hspace{1em}(11)}$$

   定义均方差比值为:

$$C=\frac{S_2}{S_1}\text{\hspace{1em}(12)}$$

   对于给定的$C_0>0$ ，当$C<C_0$ 时，称模型为均方差比合格模型。

  5 小误差概率合格模型

   定义小概率为：
p = P { ∣ ϵ ( 0 ) ( k ) − ϵ ˉ ∣ < 0.6745 S 1 } (13) p=P\{ \left | \epsilon^{(0)}(k)-\bar \epsilon \right|<0.6745S_1 \} \tag{13} p=P{∣∣∣​ϵ(0)(k)−ϵˉ∣∣∣​<0.6745S1​}(13)

   对于给定的$p_0>0$ ，当$p<p_0$ 时，称模型为小误差概率合格模型。

   下标列出了灰色模型精度检验等级。

   等级越高（等级一最高），说明模型越好。