均值不等式的来龙去脉

前言

简单了解均值不等式的来龙去脉，有助于我们理解和灵活运用其解决问题。

均值不等式

来自百度百科的说明，表达式$H_n\leq G_n\leq A_n\leq Q_n$被称为均值不等式，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。

已知对于$n$个实数$x_1，x_2，\cdots，x_n$而言，

$H_n=\cfrac{n}{\sum\limits_{k=1}^n{\cfrac{1}{x_k}}}=\cfrac{n}{\cfrac{1}{x_1}+\cfrac{1}{x_2}+\cdots+\cfrac{1}{x_n}}$，被称为调和平均数；$G_n=\sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^n{x_k}}=\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}$，被称为几何平均数；

$A_n=\cfrac{\sum\limits_{k=1}^n{x_k}}{n}=\cfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$，被称为算术平均数；$Q_n=\sqrt{\cfrac{\sum\limits_{k=1}^n{x^2_k}}{n}}=\sqrt{\cfrac{x^2_1+x^2_1+\cdots+x^2_n}{n}}$，被称为平方平均数；

由于上述不等式的四个部分，分别代表了$n$个实数的四种不同形式的(均值)平均数，所以经常被称作均值不等式。

在高中阶段，当$n=2$时，比如已知两个正实数$a，b$，比照上面我们就有了：
$H_2=\cfrac{2}{\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}}=\cfrac{2ab}{a+b}$，称为两个正实数$a，b$的调和平均数；

$G_2=\sqrt{ab}$，称为两个正实数$a，b$的几何平均数；

$A_2=\cfrac{a+b}{2}$，称为两个正实数$a，b$的算术平均数；

$Q_2=\sqrt{\cfrac{a^2+b^2}{2}}$，称为两个正实数$a，b$的平方平均数；

这样我们就得到了一个重要的不等式组： $\bbox[10px,yellow,border:2px dashed red]{\cfrac{2}{\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}}= \cfrac{2ab}{a+b}\leq \sqrt{ab}\leq \cfrac{a+b}{2}\leq \sqrt{\cfrac{a^2+b^2}{2}}}$

证明方法

我们将其限定在高中阶段的均值不等式的范围内。

一个公知的数学常识：

对于任意的实数$x，y\in R$，$(x-y)^2\ge 0$，将其展开就得到$x^2+y^2\ge 2xy$。

此时我们做个代换，令$x=\sqrt{a}$，$y=\sqrt{b}$，代入上式就得到$(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2\ge 2\sqrt{ab}$，其中$a\ge 0，b\ge 0$

实际应用中常常不考虑为零的情形，故有：$\cfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}(a，b>0)[当且仅当a=b时取到等号]$，下来以此为基础我们证明其他部分

由$\cfrac{1}{a}\rightarrow a$，$\cfrac{1}{b}\rightarrow b$， 代入上式得到$\cfrac{\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}}{2}\ge\sqrt{\cfrac{1}{ab}}(a，b>0)$，变换即得到$\cfrac{2}{\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}}\leq \sqrt{ab}[当且仅当a=b时取到等号]$；

由$a^2+b^2\ge 2ab$，两边同加$a^2+b^2$，得到$2(a^2+b^2)\ge (a+b)^2$，开方得到$\sqrt{2(a^2+b^2)}\ge a+b$，两边同除以2，得到$\cfrac{a+b}{2}\leq \sqrt{\cfrac{a^2+b^2}{2}}[当且仅当a=b时取到等号]$；

故有：$\cfrac{2}{\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}}= \cfrac{2ab}{a+b}\leq \sqrt{ab}\leq \cfrac{a+b}{2}\leq \sqrt{\cfrac{a^2+b^2}{2}}[当且仅当a=b时取到等号]$

常用结论

• $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$

证明：$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge 0$，打开整理就是 $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$(当且仅当$a=b=c$时取到等号)；

重要不等式的实际应用举例：

设$A、B、C、D$是半径为2的球面上的四点，且满足$AB\perp AC$，$AD\perp AC$，$AB\perp AD$，则$S_{\Delta ABC}+S_{\Delta ABD}+S_{\Delta ACD}$的最大值是________.

分析：结合题意，依托球内接长方体，则球体的直径的平方等于三个长方体的长宽高的平方和，

故设$AB=a$，$AC=b$，$AD=c$，则有$a^2+b^2+c^2=4^2=16$；

由重要不等式可知，$a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac$(当且仅当$a=b=c$时取等号)；

则$S_{\Delta ABC}+S_{\Delta ABD}+S_{\Delta ACD}=\cfrac{1}{2}(ab+bc+ac)\leq \cfrac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)=8$；

即所求的最小值为8。

• 已知$a>0,b>0,a+b=1$，可知$ab$的范围。

分析：$1=a+b\ge 2\sqrt{ab}$，故有$0<\sqrt{ab}\leq \cfrac{1}{2}$，即$0< ab\leq \cfrac{1}{4}$。

引申强化

• 不等式链 $\cfrac{a^2+b^2}{a+b}\geqslant \cfrac{a+b}{2}\geqslant \sqrt{ab}\geqslant \cfrac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}(a>0，b>0)$恒成立；

证明思路：法1，借助均值不等式，

法2：借助几何图形证明，

法3：借助构造函数证明，

构造函数$f(x)=\cfrac{a^{x+1}+b^{x+1}}{a^x+b^x}$，$a>0，b>0$，则$f(x)$在 $R$上单调递增？，

故$f(1)\geqslant f(0)\geqslant f(-\cfrac{1}{2})\geqslant f(-1)$，整理即得到结论。