基于 Python 的 经典数据降维算法_x_mean = x.mean(axis=0)

网上关于各种降维算法的资料参差不齐，同时大部分不提供源代码。
Python 实现了 11 种经典的数据抽取(数据降维)算法，包括：PCA、LDA、MDS、LLE、TSNE 等

一、为什么要进行数据降维?

所谓降维，即用一组个数为 d 的向量 Zi 来代表个数为 D 的向量 Xi 所包含的有用信息，其中 d<D，通俗来讲，即将高维度下降至低维度；将高维数据下降为低维数据。
通常，我们会发现大部分数据集的维度都会高达成百乃至上千，而经典的 MNIST，其维度都是 64。
但在实际应用中，我们所用到的有用信息却并不需要那么高的维度，而且每增加一维所需的样本个数呈指数级增长，这可能会直接带来极大的「维数灾难」;
而数据降维就可以实现：使得数据集更易使用；确保变量之间彼此独立；降低算法计算运算成本。
去除噪音一旦我们能够正确处理这些信息，正确有效地进行降维，这将大大有助于减少计算量，进而提高机器运作效率。而数据降维，也常应用于文本处理、人脸识别、图片识别、自然语言处理等领域。

二、数据降维原理

往往高维空间的数据会出现分布稀疏的情况，所以在降维处理的过程中，我们通常会做一些数据删减，这些数据包括了冗余的数据、无效信息、重复表达内容等。其中降维方法又分为线性和非线性降维，非线性降维又分为基于核函数和基于特征值的方法。

线性降维方法：PCA 、ICA LDA、LFA、LPP(LE 的线性表示)
非线性降维方法： 基于核函数的非线性降维方法——KPCA 、KICA、KDA
基于特征值的非线性降维方法(流型学习)——ISOMAP、LLE、LE、LPP、LTSA、MVU

三、数据降维方法之主成分分析(PCA)降维算法

PCA 是一种基于从高维空间映射到低维空间的映射方法，也是最基础的无监督降维算法，其目标是向数据变化最大的方向投影，或者说向重构误差最小化的方向投影。它由 Karl Pearson 在 1901 年提出，属于线性降维方法。与 PCA 相关的原理通常被称为最大方差理论或最小误差理论。这两者目标一致，但过程侧重点则不同。

将一组 N 维向量降为 K 维(K 大于 0，小于 N)，其目标是选择 K 个单位正交基，各字段两两间 COV(X,Y) 为 0，而字段的方差则尽可能大。因此，最大方差即使得投影数据的方差被最大化，在这过程中，我们需要找到数据集 Xmxn 的最佳的投影空间 Wnxk、协方差矩阵等，其算法流程为：

**算法输入：数据集 Xmxn;
**按列计算数据集 X 的均值 Xmean，然后令 Xnew=X−Xmean;
**求解矩阵 Xnew 的协方差矩阵，并将其记为 Cov;
**计算协方差矩阵 COV 的特征值和相应的特征向量;
**将特征值按照从大到小的排序，选择其中最大的 k 个，然后将其对应的 k 个特征向量分别作为列向量组成特征向量矩阵 Wnxk;
**计算 XnewW，即将数据集 Xnew 投影到选取的特征向量上，这样就得到了我们需要的已经降维的数据集 XnewW。

而最小误差则是使得平均投影代价最小的线性投影，这一过程中，我们则需要找到的是平方错误评价函数 J0(x0) 等参数。

关于 PCA 算法的代码如下：
from future import print_function

from sklearn import datasets

import matplotlib.pyplot as plt

import matplotlib.cm as cmx

import matplotlib.colors as colors

import numpy as np

%matplotlib inline

def shuffle_data(X, y, seed=None):

if seed:

 np.random.seed(seed)
1

idx = np.arange(X.shape[0])

np.random.shuffle(idx)

return X[idx], y[idx]

正规化数据集 X

def normalize(X, axis=-1, p=2):

lp_norm = np.atleast_1d(np.linalg.norm(X, p, axis))

lp_norm[lp_norm == 0] = 1

return X / np.expand_dims(lp_norm, axis)

标准化数据集 X

def standardize(X):

X_std = np.zeros(X.shape)

mean = X.mean(axis=0)

std = X.std(axis=0)

做除法运算时请永远记住分母不能等于 0 的情形

X_std = (X - X.mean(axis=0)) / X.std(axis=0)

for col in range(np.shape(X)[1]):

 if std[col]:

   X_std[:, col] = (X_std[:, col] - mean[col]) / std[col]
1
2
3

return X_std

划分数据集为训练集和测试集

def train_test_split(X, y, test_size=0.2, shuffle=True, seed=None):

if shuffle:

 X, y = shuffle_data(X, y, seed)
1

n_train_samples = int(X.shape[0] * (1-test_size))

x_train, x_test = X[:n_train_samples], X[n_train_samples:]

y_train, y_test = y[:n_train_samples], y[n_train_samples:]

return x_train, x_test, y_train, y_test

计算矩阵 X 的协方差矩阵

def calculate_covariance_matrix(X, Y=np.empty((0,0))):

if not Y.any():

  Y = X
1

n_samples = np.shape(X)[0]

covariance_matrix = (1 / (n_samples-1)) * (X - X.mean(axis=0)).T.dot(Y - Y.mean(axis=0))

return np.array(covariance_matrix, dtype=float)

计算数据集 X 每列的方差

def calculate_variance(X):

n_samples = np.shape(X)[0]

variance = (1 / n_samples) * np.diag((X - X.mean(axis=0)).T.dot(X - X.mean(axis=0)))

return variance

计算数据集 X 每列的标准差

def calculate_std_dev(X):

std_dev = np.sqrt(calculate_variance(X))

return std_dev

计算相关系数矩阵

def calculate_correlation_matrix(X, Y=np.empty([0])):

先计算协方差矩阵

covariance_matrix = calculate_covariance_matrix(X, Y)

计算 X, Y 的标准差

std_dev_X = np.expand_dims(calculate_std_dev(X), 1)

std_dev_y = np.expand_dims(calculate_std_dev(Y), 1)

correlation_matrix = np.divide(covariance_matrix, std_dev_X.dot(std_dev_y.T))

return np.array(correlation_matrix, dtype=float)

class PCA():

“”"

主成份分析算法 PCA，非监督学习算法.

“”"

def init(self):

 self.eigen_values = None

 self.eigen_vectors = None

 self.k = 2
1
2
3
4
5

def transform(self, X):

 """ 

 将原始数据集 X 通过 PCA 进行降维

 """

 covariance = calculate_covariance_matrix(X)



 # 求解特征值和特征向量

 self.eigen_values, self.eigen_vectors = np.linalg.eig(covariance)



 # 将特征值从大到小进行排序，注意特征向量是按列排的，即 self.eigen_vectors 第 k 列是 self.eigen_values 中第 k 个特征值对应的特征向量

 idx = self.eigen_values.argsort()[::-1]

 eigenvalues = self.eigen_values[idx][:self.k]

 eigenvectors = self.eigen_vectors[:, idx][:, :self.k]



 # 将原始数据集 X 映射到低维空间

 X_transformed = X.dot(eigenvectors)



 return X_transformed
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33

def main():

Load the dataset

data = datasets.load_iris()

X = data.data

y = data.target

将数据集 X 映射到低维空间

X_trans = PCA().transform(X)

x1 = X_trans[:, 0]

x2 = X_trans[:, 1]

cmap = plt.get_cmap(‘viridis’)

colors = [cmap(i) for i in np.linspace(0, 1, len(np.unique(y)))]

class_distr = []

Plot the different class distributions

for i, l in enumerate(np.unique(y)):

   _x1 = x1[y == l]

   _x2 = x2[y == l]

   _y = y[y == l]

   class_distr.append(plt.scatter(_x1, _x2, color=colors[i]))
1
2
3
4
5
6
7

Add a legend

plt.legend(class_distr, y, loc=1)

Axis labels

plt.xlabel(‘Principal Component 1’)

plt.ylabel(‘Principal Component 2’)

plt.show()

if name == “main”:

main()

最终，我们将得到降维结果如下。其中，如果得到当特征数 (D) 远大于样本数 (N) 时，可以使用一点小技巧实现 PCA 算法的复杂度转换。

当然，这一算法虽然经典且较为常用，其不足之处也非常明显。它可以很好的解除线性相关，但是面对高阶相关性时，效果则较差;同时，PCA 实现的前提是假设数据各主特征是分布在正交方向上，因此对于在非正交方向上存在几个方差较大的方向，PCA 的效果也会大打折扣。