数量场（标量场）的方向导数及梯度推导、哈密顿算符定义_数量场的梯度怎么求

作者：weixin_40725706 | 2024-04-07 23:57:08

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数量场的梯度怎么求

1、方向导数

2、梯度

3、哈密顿算子

1、方向导数

在等值面密集的地方数量场变化快，反之稀疏的地方变化慢。方向导数表示在数量场中在某一点，沿着 $\begin{array}{c}\vec{l}\end{array}$ 方向的变化率。

计算M点沿着 $\begin{array}{c}\vec{l_1}\end{array}$ 方向的方向导数计算定义如下：(其中u为数量场方程)

$\left.\frac{du}{dl}\right|_M=\lim_{\widehat{MP}\to0}\frac{u(P)-u(M)}{\widehat{MP}}$

取出M、P点放入直角坐标中计算。

其中MP与x,y,z的夹角分别为 $\alpha,\beta,\gamma$ ,

$\begin{aligned} &dx=t\cdot\cos\alpha \\ &dy=t\cdot\cos\beta \\ &dz=t\cdot\cos\gamma \\ &t=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2} \end{aligned}$

由此我们可以继续推导上述方向导数式子如下：

$\begin{aligned} &\left.\frac{du}{dl}\right|_M=\lim_{\widehat{MP}\to0}\frac{u(P)-u(M)}{\widehat{MP}}=\lim_{t\to0}\frac{u(x_0+dx,y_0+dy,z_0+dz)-u(x_0,y_0,z_0)}t \\ &=\frac{\partial u(P)}{\partial x}\cdot\cos\alpha+\frac{\partial u(P)}{\partial y}\cdot\cos\beta+\frac{\partial u(P)}{\partial z}\cdot\cos\gamma \end{aligned}$

其中 $\cos\alpha\text{, }\cos\beta\text{,}\cos\gamma$ 是方向 $\begin{array}{c}\vec{l_1}\end{array}$ 的方向余弦。

由于 $\begin{array}{c}\vec{l}\end{array}$ 的方向有很多个，我们需要关心沿着哪个方向变化最快，因此我们引入了梯度！注意方向导数没有方向性，只是计算了沿着 $\begin{array}{c}\vec{l}\end{array}$ 方向的变化率。

2、梯度

$grad\mathrm{~}u=\overrightarrow{G}=\frac{\partial u}{\partial x}\overrightarrow{e_x}+\frac{\partial u}{\partial y}\overrightarrow{e_y}+\frac{\partial u}{\partial z}\overrightarrow{e_z}$

由图我们知道沿着不同方向矢量场变化率是不同的，其中变化率最大的方向是我们上图画出来的红色线方向，我们定义了这个方向为最大变化率方向，值等于最大变化率的量为梯度。表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）【梯度定义】。梯度描述的方向是等值面的法线方向（即与等值面垂直的方向），描述的大小是该点标量函数的最大变化率。

3、哈密顿算子

$\nabla=\frac\partial{\partial x}\vec{e_x}+\frac\partial{\partial y}\vec{e_y}+\frac\partial{\partial z}\vec{e_z}$

我们把上述式子定义为哈密顿算子。通过刚刚梯度计算的描述，我们知道哈密顿算子拥有矢量性和微分性，并且首先表现出矢量性！

因此我们的梯度可以写成：

$grad\, u=\nabla u=\frac{\partial u}{\partial x}\overrightarrow{e_{x}}+\frac{\partial u}{\partial y}\overrightarrow{e_{y}}+\frac{\partial u}{\partial z}\overrightarrow{e_{z}}$

算子其实就是一种计算符号，类似于➕，➖，这种表达一种计算方式。我们只要知道他是怎么计算的就可以了。

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