决策树ID3的详细推导过程以及代码实现_id3决策树算法思想的伪码语言描述步骤

1. 简介

1. 决策树是机器学习中属于监督类算法，有ID3，C4.5，C5.0，CART(Classification and Regression Tree)，CHAID(CHi-squared Automatic Interaction Detection)，决策树是一种树形结构，每个内部节点表示一种属性判断，每个分支表示一种判断结果，每个叶子节点（终端节点）表示一种分类结果。

2. 下图就是一种流程图形式的决策树：
   

2.决策树的构造

1. 决策树的优缺点

2. 适用数据类型：数值型和标称型。

标称型：标称型目标变量的结果只在有限目标集中取值，比如真与假(标称型目标变量主要用于分类)

数值型：数值型目标变量则可以从无限的数值集合中取值，如0.555，666.666等 (数值型目标变量主要用于回归分析)

3. 下面是构造一个决策树的伪代码：

CreateBranch():
	检查数据集中的每个子项是否属于同一分类：
	If so return 类标签
	Else
		寻找划分数据集的最好特征
		划分数据集
		创建分支节点
			for 每个划分的子集
				调用函数CreateBranch并增加返回结果到分支节点中
		return 分支节点
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4. 决策树一般流程

5. ID3算法如何划分数据集：

划分数据的大原则是：将无序的数据变得更加有序。
在划分数据之前之后的信息发生变化成为信息增益，知道如何计算信息增益，我们就可以计算每个特征值划分数据集获得的信息增益，获得信息增益最高的特征就算最好的选择。

下面我们需要知道两个专有名词：信息增益（information gain）和熵（entropy），熵定义为信息的期望值，那么信息的定义为：
$$l(x_i)=-lo{g}_{2}p(x_i)$$
其中$$p(x_i)$$是选择该分类的概率。

为了计算熵，我们需要计算所有可能值包含的信息期望值，通过下面的公式得到：
$$Ent(D)=-\sum _{i=1}^{n}p(x_i)lo{g}_{2}p(x_i)$$

Ent(D)的值越小，说明其纯度越高；计算信息熵时约定：若$$p=0,则plo{g}_{2}p=0,H最小值为0，最大值为lo{g}_{2}n.$$

信息增益定义： 假 定 离 散 属 性 a 有 V 个 可 能 的 取 值 { a 1 , a 2 , . . . , a V } , 若 使 用 a 来 对 样 本 集 D 进 行 划 分 ， 则 会 产 生 V 个 分 支 节 点 ， 其 中 第 v 个 分 支 节 点 包 含 了 D 中 所 有 在 属 性 a 上 取 值 为 a v 的 样 本 ， 记 为 D v . 我 们 可 根 据 熵 的 公 式 计 算 出 D v 的 信 息 熵 ， 再 考 虑 到 不 同 分 支 结 点 所 包 含 的 样 本 数 不 同 ， 给 分 支 结 点 赋 予 权 重 ∣ D v ∣ / ∣ D ∣ , 即 样 本 越 多 的 分 支 结 点 的 影 响 越 大 ， 于 是 可 计 算 出 用 属 性 a 对 样 本 集 D 进 行 划 分 所 获 得 的 信 息 增 益 ( i n f o r m a t i o n g a i n ) : G a i n ( D , a ) = E n t ( D ) − ∑ v = 1 V ∣ D v ∣ ∣ D ∣ E n t ( D v ) . 假定离散属性a有V个可能的取值\{a^1,a^2,...,a^V\},若使用a来对样本集D进行划分，则会产生V个分支节点，\\其中第v个分支节点包含了D中所有在属性a上取值为a^v的样本，记为D^v.我们可根据熵的公式\\计算出D^v的信息熵，再考虑到不同分支结点所包含的样本数不同，给分支结点赋予权重|D^v|/|D|,\\即样本越多的分支结点的影响越大，于是可计算出用属性a对样本集D进行划分所获得的\\信息增益(information gain): \\ Gain(D,a) =Ent(D) - \sum_{v=1}^V\frac{|D^v|}{|D|}Ent(D^v). 假定离散属性a有V个可能的取值{a1,a2,...,aV},若使用a来对样本集D进行划分，则会产生V个分支节点，其中第v个分支节点包含了D中所有在属性a上取值为av的样本，记为Dv.我们可根据熵的公式计算出Dv的信息熵，再考虑到不同分支结点所包含的样本数不同，给分支结点赋予权重∣Dv∣/∣D∣,即样本越多的分支结点的影响越大，于是可计算出用属性a对样本集D进行划分所获得的信息增益(informationgain):Gain(D,a)=Ent(D)−v=1∑V​∣D∣∣Dv∣​Ent(Dv).
一般而言，信息增益越大，则意味着使用属性a来划分所获得的”纯度提升"越大。即选则属性$$a_{\ast }=ar{g}_{a\in A}maxGain(D,a)$$

例子：下面是海洋生物数据

上面包括5个海洋动物，特征包括：不浮出水面是否可以生存，是否有脚蹼。分成两类，鱼类和非鱼类，现在我们想要决定依据第一个特征还是第二个特征划分数据
在决策树开始时，显然只有两种结果，属于鱼类或不属于鱼类，|y| = 2.$$正例p_1=\frac{2}{5},反例p_2=\frac{3}{5}$$
$$Ent(D)=-\sum _{k=1}^2{p}_{k}lo{g}_2{p}_k=-(\frac{2}{5}lo{g}_2\frac{2}{5}+\frac{3}{5}lo{g}_2\frac{3}{5})=0.97095$$

$$\begin{gathered} 如果我们以不浮出水面是否可以生存这个属性来划分，那么可知该属性正例占比\frac{3}{5},反例\frac{2}{5}, \\ 正例中属于鱼类为\frac{2}{3}, \\ 不属于鱼类为\frac{1}{3},反例中属于鱼类为0，不属于鱼类为1,那么有 \\ Ent(D_1)=-(\frac{2}{3}lo{g}_2\frac{2}{3}+\frac{1}{3}lo{g}_2\frac{1}{3})=0.91829; \\ Ent(D_2)=0; \\ Gain(D,是否浮出水面)=Ent(D)-\sum _{v=1}^2\frac{|D^v|}{|D|}Ent(D^v) \\ =0.97095-(\frac{3}{5}\ast 0.91829+\frac{2}{5}\ast 0) \\ =0.419976 \end{gathered}$$
类似的我们可以计算出第二个特征是否有脚蹼的信息增益：
$$Gain(D,是否有脚蹼)=0.17095$$
很明显，第一个特征的信息增益最大，所以第一个分支以第一个属性作为结点，第二个分支结点以第二个属性为结点。

3. 主要实现代码 - python

1.创建数据集

根据上面的列表创建对应的数据如下：

def createDataSet():
    """
    创建数据集
    :return:数据集
    """
    dataSet = [[1, 1, 'yes'],
               [1, 1, 'yes'],
               [1, 0, 'no'],
               [0, 1, 'no'],
               [0, 1, 'no']
               ]
    labels = ['no surfacing', 'flippers']
    return dataSet, labels
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2. 计算熵

def calShannonEnt(dataSet):
    """
    计算给定数据集的香农熵 公式: H = -Σ(n,i=1)p(xi)log2p(xi),其中p(xi)是选择该分类的概率
    :param dataSet: 数据集
    :return: 返回熵
    """
    numEntries = len(dataSet)#求数据长度
    labelCounts = {}#用字典来统计标签
    for featVec in dataSet:
        currentLabel = featVec[-1] #标签放在最后一个
        if currentLabel not in labelCounts.keys():
            labelCounts[currentLabel] = 0
        labelCounts[currentLabel] += 1

    shannonEnt = 0.0
    for key in labelCounts:
        prob = float(labelCounts[key])/numEntries
        shannonEnt -= prob * log(prob,2)

    return shannonEnt
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3.计算最大信息增益

def chooseBestFeatureToSplit(dataSet):
    """
    选择最好的数据集划分方式
    :param dataSet:数据集
    :return:返回最佳分割位置
    """
    #计算属性长度
    numFeatures = len(dataSet[0])-1
    #未划分前的熵值
    baseEntropy = calShannonEnt(dataSet)
    bestInfoGain = 0.0; bestFeature = -1
    for i in range(numFeatures):
        #获取当前属性所有取值
        featList = [example[i] for example in dataSet]
        #去掉属性中重复的取值
        uniqueVals = set(featList)
        newEntropy = 0.0
        for value in uniqueVals:
            #求得每种划分的信息熵
            subDataSet = spliteDataSet(dataSet, i, value)
            prob = len(subDataSet)/float(len(dataSet))
            newEntropy += prob * calShannonEnt(subDataSet)
        infoGain = baseEntropy - newEntropy
        if (infoGain > bestInfoGain):
            bestInfoGain = infoGain
            bestFeature = i

    return bestFeature
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4.创建决策树

def creatTree(dataSet,labels):
    """
    创建树的函数代码
    :param dataSet:数据集合
    :param labels:特征值集合
    :return:一棵决策树
    """
    #获取属性取值集合
    classList = [example[-1] for example in dataSet]
    print("classList:")
    print(classList)
    print("labels:")
    print(labels)
    #当前列表中都属于同一个值，类别完全相同停止继续划分
    if classList.count(classList[0]) == len(classList):
        print("all items equals:")
        print(classList)
        return classList[0]

    if len(dataSet[0]) == 1:
        print("dataSet:")
        print(dataSet)
        print("dataSet[0]:")
        print(dataSet[0])
        return majorityCnt(classList)

    bestFeat = chooseBestFeatureToSplit(dataSet)
    bestFeatLabel = labels[bestFeat]
    myTree = {bestFeatLabel:{}}
    del(labels[bestFeat])
    featValues = [example[bestFeat] for example in dataSet]
    uniqueVals = set(featValues)
    for value in uniqueVals:
        subLabels = labels[:] #复制类标签
        myTree[bestFeatLabel][value] = creatTree(spliteDataSet(dataSet, bestFeat, value), subLabels)

    return myTree
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5. 根据数据集合创建树并绘制树形图

#创建数据集
mydat, labels = createDataSet()
#复制一份，防止改变该变量
labelscopy = labels.copy()
#创建决策树 实际上是一个字典集合
myTree = creatTree(mydat, labels)
print(myTree)
#导入绘图类 decision_graphic_tree.py
import decision_graphic_tree
#根据创建的决策树进行绘图
decision_graphic_tree.createPlot(myTree)
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其中绘制属性图采用了Matplotlib注解工具annotations来实现，具体实现在decision_graphic_tree.py里面。

详细代码请参考本人github。