【机器学习】决策树算法详解(ID3, C4.5)_id3和c4.5算法构建决策树怎么算

1前言

  在这里主要介绍决策树中的ID3算法以及C4.5算法的原理，由于代码比较多，我将代码放在Github中了，ID3的代码点击此处，C4.5的代码点击此处。

2 决策树简介

  决策树顾名思义就是一个基于树形结构进行决策的过程。例如，我们要对明天是否出去玩？作一个决策，我们通常会作一系列判断，比如我们得先看“明天是否有课？”，如果是“没课”，则我们再看明天天气是否晴朗？，如果是“晴朗”，那么我们再进行判断明天是否有人一起出去玩？，最后如果是“有人陪同”，那么根据这一系列的判断，我们便得出最终结论，“出去玩！”，这个过程如下图所示。

  实际的例子可能要复杂的许多，但由上面这个例子我们不难总结出决策树的特点，那便是`依据每个需要决策的属性进行划分`，上图中我们用来划分的属性分别为`有课？`，`天气晴朗？`和`有人陪同`这三个属性，每经过一次决策，我们便会离最终结果更进一步。

3 如何构造决策树

  由第一个例子可知，在构造好决策树的情况下，每条数据会不断的经过决策树的结点（即数据的属性）进行判断，然后该数据将会被归到不同的类别中去，不论有多少数据，决策树都可以把它们归到相应的类别中去，比如现在有100条数据，经过第一个例子后，有30条被归到了“上课”，有50条被归到了“出去玩”，有20条被归到了“宅在家”，也就是说决策树是根据属性将数据集进行分类的一个过程。既然决策树能够根据属性将数据集划分，那么反过来，根据属性划分数据集也就能够生成决策树！
  下面有一个包含有5条样本的海洋生物的数据表，其中有两个属性用来判断该物种是否属于鱼类。接下来我们将用这个数据集来尝试建立决策树。

  我们已经知道可以根据属性将数据集分类，然后依据属性和分类结果构造决策树。依据属性将数据集划分是很简单的事情，那么哪个属性在划分数据时起决定性作用呢？这将决定了我们使用属性进行判断的顺序，因此找到起决定性作用的属性，即选择最优划分属性，这就是决策树的精髓所在。一般而言，我们希望决策树的分支结点所包含的样品尽可能的属于同一个类别，即结点的纯度越来越高。所以可以根据划分之后数据集的“纯度”来决定最优划分属性。信息熵是度量样本集合纯度最常用的一种指标，因此我们可以用它来判断划分数据之前和之后数据集的纯度。
  构造决策树的流程如下：
    ①检测数据集中每个子项是否属于同一分类，若不为则前往②，否则结束。
    ②寻找最优划分特征（属性），并依据特征划分数据集。
    ③对于每一个划分的数据集重复进行上述步骤 。
  由流程可知，构建决策树需要用到递归，其停止的条件为（1）当前结点包含的样本全属于统一类别，无需划分；（2）当前属性已用完，或是所有样本在所有属性上取值相同，不能划分；（3）当前结点包含的样本集合为空，无法划分。

4 算法原理详解

4.1 ID3算法

  ID3(Iterative Dichotomiser即迭代二分器)的简称，ID3算法是以信息增益为准则来选择划分属性的，再介绍信息增益之前，首先介绍下信息熵，信息熵的定义如下：假定当前集合$D$中的样本共有$n$个类别，的第$k$个类别所占的比例为$p_k(k=1,2,...,n)$，则D的信息熵定义为
$$Ent(D)=-\sum _{k=1}^{|n|}{p}_k{\log }_2{p}_k$$
Ent(D)的值越小，则D的纯度越高。
  信息增益(information gain)是基于信息熵的，其定义如下：假定离散属性$a$有$m$个可能的取值 { a 1 , a 2 , … , a m } \lbrace{a_{1},a_{2},\dots,a_{m}}\rbrace {a1​,a2​,…,am​}，此时若采用属性$a$来划分数据，则会产生$m$个分支结点，其中第 i { i ϵ ( 1 , 2 , … , m ) } i\lbrace{i\epsilon(1,2,\dots,m)}\rbrace i{iϵ(1,2,…,m)}个分支结点包含了$D$中所有在属性$a$上取值为$a_i$的样本，记该样本集合为$D_i$。我们可根据上式计算出$D_i$的信息熵，再考虑到不同分支结点所包含的样本数不同，给分支结点赋予权重$|D_i|/|D|$(其中$|D_i|$，$|D|$分别表示$D_i$，$D$中包含的样本的数量)，即样本数越多的分支结点影响越大，于是可计算出用属性$a$对样本$D$进行划分所获得的信息增益
$$Gain(D,a)=Ent(D)-\sum _{i=1}^m\frac{|D_i|}{|D|}Ent(D_i)$$  一般而言，信息增益越大，则意味着使用属性$a$来进行划分所获得的纯度提升越大。因此，我们可以用信息增益来进行决策树的划分属性选择。
  由上表中的海洋数据集为例，该数据包含5个训练样本，用以学习一颗能判断该生物是否为鱼的决策树。再决策树开始时，根节点包含$D$中所有样本，其中正例占$p_1=\frac{2}{5}$反例占$p_2=\frac{3}{5}$。于是根据公式(1)能计算出根节点的信息熵为
$$Ent(D)=-\sum _{k=1}^2{p}_k{\log }_2{p}_k=-(\frac{2}{5}{\log }_2\frac{2}{5}+\frac{3}{5}{\log }_2\frac{3}{5})=0.971$$  然后，我们要计算出当前属性集合 { \lbrace {不浮出水面是否可以生存，是否有脚蹼$\}$中每个属性的信息增益。以属性“不浮出水面是否可以生存”为例，它有2个可能的取值： { \lbrace {是，否$\}$。若使用该属性对$D$进行划分，则可以得到2个子集，分别记为$D_1(不浮出水面是否可以生存=是)$，$D_2(不浮出水面是否可以生存=否)$。
  子集$D_1$包含编号 { \lbrace { 1，2，3$\}$的3个样例，其中正例占$p_1=\frac{2}{3}$，反例占$p_2=\frac{1}{3}$，子集$D_2$包含编号 { \lbrace { 4，5$\}$的2个样例，其中正例占$p_1=0$，反例占$p_2=1$，则根据公式(1)可以计算出用“不浮出水面是否可以生存”为属性划分之后所获得的3个分支结点的信息熵为
$$\begin{gathered} Ent(D_1)=-(\frac{2}{3}{\log }_2\frac{2}{3}+\frac{1}{3}{\log }_2\frac{1}{3})=0.918 \\ Ent(D_2)=-1{\log }_{2}1=0 \end{gathered}$$  于是，根据公式(2)可计算出属性“不浮出水面是否可以生存”的信息增益为
$$\begin{gathered} Gain(D,不浮出水面是否可以生存)=Ent(D)-\sum _{i=1}^3\frac{|D_i|}{|D|}Ent(D_i) \\ =0.971-(\frac{3}{5}\times 0.918+\frac{2}{5}\times 0) \\ =0.4202 \end{gathered}$$  类似的，我们可以计算出其他属性的信息增益
$$Gain(D,是否有脚蹼)=0.1710$$  显然，属性“不浮出水面是否可以生存”的信息增益最大，于是选择它为划分属性。下图给出了基于“不浮出水面是否可以生存”对根节点进行划分的结果，各分支结点所包含的样例显示再结点中。

  接下来，决策树学习算法将对每个分支结点作进一步划分，以上图中的第一个结点(不浮出水面是否可以生存=”是“)为例，该结点包含集合$D_{1}$中编号有$\lbrace$ 1，2，3$\rbrace$的3个样例，可用属性集合为$\lbrace$是否有脚蹼$\rbrace$。基于$D_{1}$计算出各属性的信息增益。 $$Gain(D_{1}, 是否有脚蹼)=0.918$$   在此处，因为只剩余一个属性，因此它的信息增益最大，选择使用它来划分$D_{1}$数据集。类似的，对每一个分支结点进行上述操作，最终将得到如下所示决策树。

4.2 C4.5算法

  C4.5算法与ID3算法基本流程一样，不同的地方在于ID3算法使用的是信息增益准则来进行对数据的划分，而C4.5算法采用的是增益率(gain ration)来进行对数据的划分。信息增益准则对可取值数目较多的属性有所偏好，而增益率可以减少这种偏好带来的不利影响。增益率定义为
$$Gain\_ratio(D,a)=\frac{Gain(D,a)}{IV(a)}$$  其中
$$IV(a)=-\sum _{i=1}^m{\log }_2\frac{|D_i|}{|D|}$$  称为$a$的属性固有值(instrinsic value)。属性$a$的可能取值数目越多(即$m$越大)，则$IV(a)$的值通常会越大。如我们的海洋生物数据，有$IV(不浮出水面是否可以生存)=0.971(m=2)$，$IV(是否有脚蹼)=0.722(m=2)$。
  需要注意的是，增益率准则对可取值数目较少的属性有所偏好，因此，C4.5算法并不是直接选择增益率最大的候选划分属性，而是使用了一个启发式思维：先从候选划分属性中找出信息增益高于平均水平的属性，再从中选择增益率最高的。(PS：直接选择增益率最大也是可以的，不过另外一种方法能够减少算法的一些弊端)

5 总结

  ID3算法采用信息增益来划分数据，它一般会优先选择有较多属性值的特征，因为属性值越多的特征会有较大的信息增益，而C4.5算法是采用的增益率来作为选择分支的准则，引入一个固有值来惩罚取值较多的特征。ID3和C4.5一般而言都是处理离散变量的数据，对于连续型变量的数据则采用CART( Classfication And Regression Tree即分类与回归树)算法。