动态规划入门（走楼梯问题 c++）_动态规划爬楼梯c++

问题

一共有n阶阶梯，我们可以一步走一阶，也可以一步走两阶，求一共有几种走法

分析

第一次看到这个问题我想到了排列组合，奈何数学功底太差没有想出具体的解决方法…
既然没法用排列组合解决，那就尝试用其他方法，这里我选择用的是递归。首先我们假设共有40阶楼梯：

• 如果最后一步走的是1个阶梯， 那之前一定走到了第39个阶梯；
• 如果最后一步走的是2个阶梯，那么之前一定只走到了38个阶梯（绝对不可能走到39阶,因为只有40阶， 最后一步走两阶）。

同理， 在走到39阶前一步，也有两种可能：

• 只走了一阶，那么之前一定是走到了38阶；
• 另一种是，走了两阶， 那么之前一定是走到了37阶。
  

所以总结出一个规律：

走40阶的走法 = 走39阶的走法 + 走38阶的走法
走39阶的走法 = 走38阶的走法 + 走37阶的走法
走38阶的走法 = 走37阶的走法 + 走36阶的走法
…
走3阶的走法 = 走2阶的走法 + 走1阶的走法
走2阶的走法为2种（1、一步走1阶， 走两步；2、一步走两阶， 走一步 ）
走1阶的走法为1种（1、一步走1阶，走一步）

这里我们归纳一个函数，opt(n)表示走n阶阶梯的所有方法，出口为 n=1 或者 n=2 , 则：

改进

在递归的过程中，出现很多的重复调用，如下图所示， 这大大的加大了时间复杂度，所以我们需要避免这种情况的出现，可以将每一次递归调用的值按顺序存入一个数组，下一次调用的时候直接使用数组的值即可。