【Leetcode 每日一题】300.最长上升子序列_最长上升子序列 leetcode

题目描述

给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。

示例:

输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4 
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的长度是 4。

说明:

可能会有多种最长上升子序列的组合，你只需要输出对应的长度即可。
你算法的时间复杂度应该为 O(n2) 。
进阶: 你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log n) 吗?

思路一——动态规划

动态规划的题难点就在于状态转移方程$dp[i]=max(dp[j])+1$,其中0≤j<i且num[j]<num[i]。

那么，看到转移方程可能你已经知道思路了。逐个判断数组中每个元素与它之前的所有元素大小，若大于之前的元素，比较当前递增长度与之前的元素递增长度加一，取最大值。

最后，对dp数组排序，最大值即为最长上升子序列长度。

• 时间复杂度：O(n^2)
• 空间复杂度：O(n)

int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        if(!nums.size())
            return 0;
        vector<int>dp(nums.size(),1);
        for(int i=0;i<nums.size();i++)
        {
            for(int j=0;j<i;j++)
            {
                if(nums[i]>nums[j])
                    dp[i] = max(dp[i],dp[j]+1);
            }
        }
        sort(dp.begin(),dp.end(),greater<int>());
        return dp[0];
}

思路二——贪心 + 二分查找

贪心：我们想要上升子序列尽可能的长，那么就需要让上升子序列尽可能的慢，因此我们希望每次在上升子序列最后加上的那个数尽可能的小。eg：对于测试用例[10,9,2,5,3,7,101,18]，最后得到的最长子序列是[2,3,7,18]而不是其他的序列[2,5,7,18]、[2,3,7,101]。

那么我们需要构造一个数组d[i] ，表示长度为 i 的最长上升子序列的末尾元素的最小值，用len记录目前最长上升子序列的长度，起始时len为1，d[1] = nums[0]。

从前向后遍历nums数组，当nums[i]>d[len]时，则直接加入到 d 数组末尾，并更新 len=len+1；否则，在 d 数组中二分查找，找到第一个比 nums[i] 小的数 d[k] ，并更新 d[k + 1] = nums[i]，若找不到，说明所有的数都比 nums[i] 大，因而直接更新 d[0]。

• 时间复杂度：O(nlog(n))
• 空间复杂度：O(n)

int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
		if (!nums.size()) return 0;
 
		vector<int>dp(nums.size() + 1, 0);//+1防止nums只有一个元素时，dp[1]越界
		int len = 1;
		dp[1] = nums[0];
		for (int i = 1; i < nums.size(); i++)
		{
			if (nums[i] > dp[len])//若值大于最长子序列末端，新增
				dp[++len] = nums[i];
			else
			{
				int left = 1, right = len,pos = 0;
				while (left <= right)
				{
					int mid = left + (right - left) / 2;
					if (dp[mid] < nums[i])
					{
						pos = mid;
						left = mid + 1;//继续找，找到第一个比nums[i]小的为止
					}
					else
						right = mid - 1;
				}
				dp[pos + 1] = nums[i];
			}
		}
		return len;
}