区间dp——左右端操作模型（不定期更新）

左右端模型：通过不断地在序列两端追加元素的情形

例题1：

P3205 [HNOI2010]合唱队

题目描述

为了在即将到来的晚会上有更好的演出效果，作为 AAA 合唱队负责人的小 A 需要将合唱队的人根据他们的身高排出一个队形。假定合唱队一共 nn 个人，第 ii 个人的身高为 h_ihi​ 米（1000 \le h_i \le 20001000≤hi​≤2000），并已知任何两个人的身高都不同。假定最终排出的队形是 AA 个人站成一排，为了简化问题，小 A 想出了如下排队的方式：他让所有的人先按任意顺序站成一个初始队形，然后从左到右按以下原则依次将每个人插入最终棑排出的队形中：

• 第一个人直接插入空的当前队形中。

• 对从第二个人开始的每个人，如果他比前面那个人高（hh 较大），那么将他插入当前队形的最右边。如果他比前面那个人矮（hh 较小），那么将他插入当前队形的最左边。

当 n 个人全部插入当前队形后便获得最终排出的队形。

例如，有 66 个人站成一个初始队形，身高依次为 1850, 1900, 1700, 1650, 1800, 17501850,1900,1700,1650,1800,1750，
那么小 A 会按以下步骤获得最终排出的队形：

• 18501850。

• 1850, 19001850,1900，因为 1900 > 18501900>1850。

• 1700, 1850, 19001700,1850,1900，因为 1700 < 19001700<1900。

• 1650, 1700, 1850, 19001650,1700,1850,1900，因为 1650 < 17001650<1700。

• 1650, 1700, 1850, 1900, 18001650,1700,1850,1900,1800，因为 1800 > 16501800>1650。

• 1750, 1650, 1700, 1850, 1900, 18001750,1650,1700,1850,1900,1800，因为 1750 < 18001750<1800。

因此，最终排出的队形是 1750, 1650, 1700, 1850, 1900, 18001750,1650,1700,1850,1900,1800。

小 A 心中有一个理想队形，他想知道多少种初始队形可以获得理想的队形。

请求出答案对 1965082719650827 取模的值。

输入格式

第一行一个整数 nn。
第二行 nn 个整数，表示小 A 心中的理想队形。

输出格式

输出一行一个整数，表示答案 \bmod 19650827mod19650827 的值。

输入输出样例

输入 #1复制

4
1701 1702 1703 1704

输出 #1复制

8

说明/提示

对于 30\%30% 的数据，n \le 100n≤100。
对于 100\%100% 的数据，n \le 1000n≤1000，1000 \le h_i \le 20001000≤hi​≤2000。

 

分析：

（官方题解）

如何设计状态

那么我们要怎么设计状态，我们想，每给人进入队伍里，只有2种可能，1种是从左边加入，另外1种是从右边进入，所以我们的装态是有3个数

f[i][j][0]f[i][j][0]表示的是第ii人从左边进来的方案数

f[i][j][1]f[i][j][1]表示的是第jj人从右边进来的方案数

推导状态转移方程

从左边进来肯定前1个人比他高，前1个人有2种情况，要么在i+1i+1号位置，要么在jj号位置。

同理

从右边进来肯定前1个人比他矮，前1个人有2种情况，要么在j-1j−1号位置，要么在ii号位置。

那么状态转移方程就出来了

注：这里的i和j均为边界，注意i=j的时候，只初始化一边

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
//typedef __int128 lll;
#define print(i) cout << "debug: " << i << endl
#define close() ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0)
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
const ll mod = 19650827;
const int maxn = 2e6;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int v[1010];
ll dp[1010][1010][2];
 
int main()
{
    int n; cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i], dp[i][i][0] = 1;
    for(int len = 2; len <= n; len++)
        for(int i = 1; i + len - 1 <= n; i++)
        {
            int j = i + len - 1;
            if(v[i] < v[i + 1]) dp[i][j][0] += dp[i + 1][j][0];
            if(v[i] < v[j]) dp[i][j][0] += dp[i + 1][j][1];
            if(v[j] > v[i]) dp[i][j][1] += dp[i][j - 1][0];
            if(v[j] > v[j - 1]) dp[i][j][1] += dp[i][j - 1][1];
            dp[i][j][0] %= mod, dp[i][j][1] %= mod;
        }
    cout << (dp[1][n][0] + dp[1][n][1]) % mod << endl;
        
}