RSA加密及数字签名详解_rsa 签名

名词解释 

欧拉函数 φ(n) 的定义是小于等于 n 的正整数中与 n 互素的数的个数。简单说，就是找到与给定正整数 n 互素的数有多少个。

RSA密钥生成

RSA公钥 Kpub(n,e) ，私钥 Kpr=d。生成秘钥过程可以分为六步：

①选择长度相等的p,q两个质数；

②计算n=p·q (n的长度至少为1024bit）

③计算 （n） =（p-1）·（q-1） （小费马定理）

④随机选择e：0<e< （n），且e和 （n） 的最大公约数为1

⑤计算秘钥d，d是e的逆，即：d=e^-1mod （n） ，且e和d满足 e*d=1mod（n）

⑥计算出e和d后生成了公钥和秘钥对：

Kpub(n,e) =(n,e)

Kpr=(p,q,d)

RSA的公钥、私钥的组成，以及加密、解密的公式可见于下表：

RSA加密解密步骤

得到密钥对（Kpub,Kpri）后 Alice 和Bob 双方利用秘钥对进行加密解密

加密：Enc(Kpub)=x^e mod n

解密：Dec(Kpri)=y^d mod n

RSA 签名

数字签名是一种公钥加密算法，对数字信息进行鉴别的方法，分为数字签名和验证；

RSA 加解密举例

x=4，通信过程如下：

消息x=4

1、选择 p=3,q=11;

2、计算 n=pq=33

3、计算φ(n)=(3-1)(11-1)=20

4、选择e=3

5、计算d==e^-1=7 mod 20

     5.1、过程：

        ed ≡ 1 (mod φ(n))

　　 ed - 1 = kφ(n)

        找到模反元素d，实质上就是对下面这个二元一次方程求解

        　ed - φ(n)k = 1

        已知 e=3, φ(n)=20，

        3d - 20k = 1

        这个方程可以用"扩展欧几里得算法"求解，此处省略具体过程。总之算出一组整数解为 (d,k)=(7,1)，即 d=7。

  (a)、3d - 20k = 1

（b）、将20对3取模得到的余数2代替20，则变为3d-2k=1；

  (c)、同理，将3对2取模得到余数1代替3，则变为d-2k=1

  当x的系数最后化为1时，

令k=0代入 （c），得d=1;

令d=1代入(b),  得k=1;

令k=1代入（a），得d=7 

此时即可得到公钥PK=（e，n）={3,33}，私钥SK={d,n}={7，33}，后面的加密和解密直接套相应公式即可。

  例如：79*d-3220*k=1

（a）79*d-3220*k=1（其中k为正整数）；
（b）将3220对79取模得到的余数60代替3220，则变为79*d-60*k=1；
（c）同理，将79对60取模得到的余数19代替79，则变为19*d-60*k=1；
（d）同理，将60对19取模得到的余数3代替60，则变为19*d-3*k=1；
（e）同理，将19对3取模得到的余数1代替19，则变为d-3*k=1；

当d的系数最后化为1时，
令k=0，代入（e）式中，得d=1；
将d=1代入（d）式，得k=6；
将k=6代入（c）式，得d=19；
将d=19代入（b）式，得k=25；
将k=25代入（a）式，得d=1019，这个值即我们要求的私钥d的最终值。
此时即可得到公钥PK=（e，n）={79，3337}，私钥SK={1019，3337}，后面的加密和解密直接套相应公式即可。

6、 通信举例 

Alice

假如明文 x=4  

密文 y =x^e=4^3 mod 33=31；

Bob

收到密文31，然后解密   x= y^d=31^7 mod 33=4  得到明文 x=4

RSA 签名举例

Alice 签名

消息 x=4

生成签名   s=x^d= 4^7 mod 33 =16

Bob 验证签名

收到签名（x,s）=(4,16), s=16

x撇=s^e=16^3 mod 33 =4   

x撇=x mod 33= 4  

有效签名

RSA 字符串加密示例演示

英文数字化

将明文信息数字化，并将每块两个数字分组。假定明文英文字母编码表为按字母顺序排列数值，即：

则得到分组后的key的明文信息为：11，05，25。

明文加密

用户加密密钥(3,33) 将数字化明文分组信息加密成密文。由C≡Me(mod n)得：

因此，得到相应的密文信息为：11，31，16。

密文解密

用户B收到密文，若将其解密，只需要计算，即：

用户B得到明文信息为：11，05，25。根据上面的编码表将其转换为英文，我们又得到了恢复后的原文“key”。

它的原理就可以这么简单地解释！

　　当然，实际运用要比这复杂得多，由于RSA算法的公钥私钥的长度（模长度）要到1024位甚至2048位才能保证安全，因此，p、q、e的选取、公钥私钥的生成，加密解密模指数运算都有一定的计算程序，需要仰仗计算机高速完成。

参考：用实例给新手讲解RSA加密算法 - 中国金融认证中心

参考：RSA加密及数字签名详解 - 知乎

参考：【CRYPTO】RSA | 狼组安全团队公开知识库

参考：RSA算法原理（二） - 阮一峰的网络日志