数据结构之二叉树详解_具有n个节点的完全二叉树深为+1,表示以2为底,其中x表示不大于n的最大整数

数据结构之二叉树基本操作详解

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一、树概念和种类

树的相关概念：

在介绍二叉树之前我们先了解下什么是树。

• 『 树』是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因.为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点。
  除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
  因此，树是递归定义的。
  

• 并且要注意子树之前不能不能有交集否则会构成一个环，就不是树了。
  
  其他概念：

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6

• 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；
  如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点

• 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点

• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点

• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点

• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6

• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推； 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4

• 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙 森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

种类：

那么我们接下来讲解二叉树相关知识。

二、二叉树

1.二叉树概念

• 『 二叉树（binary tree） 』是指树中节点的度不大于2的有序树，它是一种最简单且最重要的树。如图：
  
  由此可以得到：

• 二叉树中的每一个节点的度最多是2。

• 并且二叉树有左子树和右子树，属于有序树。

2.特殊二叉树

• 『 满二叉树 』：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2的k次方-1，则它就是满二叉树。

• 『 完全二叉树 』：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对 应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
  

3.二叉树性质

性质1：二叉树的第i层上至多有2i-1（i≥1）个节点

性质2：深度为h的二叉树中至多含有2h-1个节点 。

性质3：若在任意一棵二叉树中，有n0个叶子节点，有n2个度为2的节点，则必有n0=n2+1 。

性质4：具有n个节点的完全二叉树深为log2x+1（其中x表示不大于n的最大整数）。

性质5：若对一棵有n个节点的完全二叉树进行顺序编号（1≤i≤n）

那么，对于编号为i（i≥1）的节点：
当i=1时，该节点为根，它无双亲节点
当i>1时，该节点的双亲节点的编号为i/2 。
若2i≤n，则有编号为2i的左节点，否则没有左节点 。
若2i+1≤n，则有编号为2i+1的右节点，否则没有右节点 。

3.二叉树存储结构

• 二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

顺序结构

• 顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。
  

链式结构

• 二叉树的链式存储结构是指：
  用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所 在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链。

代码如下（示例）：

typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{ 
 struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
 struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
 BTDataType _data; // 当前节点值域
}
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
 struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲
 struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
 struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
 BTDataType _data; // 当前节点值域
}；
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4.二叉树基本操作

二叉树前中后序遍历

• 所谓前序（先根）遍历，就是严格按照 根 - > 左子树 - > 右子树的顺序来遍历整个二叉树。
  

• 那么在这里我们采用递归的方法。首先对于上图所示，首先看根节点A，先根遍历顺序是： A - > A的左子树- > A的右子树
  那么对于A的左子树同样按照先跟遍历：*B - > B的左子树- > B的右子树
  那么对于B的左子树同理·········右子树也一样类推

• 并且递归的终点条件是访问的节点为空。先跟遍历代码如下：

void preorder(Tree* root)
{
	if (root == NULL)//递归截止条件节点为空
		return;
	printf("%c ", root->Data);//访问当前的根节点
	preorder(root->left);//访问此时根节点的左子树
	preorder(root->right);//访问此时根节点的右子树
}
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• 举一反三，中跟后跟只需要改变访问根节点，访问左右子树的顺序即可

void inorder(Tree* root)//中序
{
	if (root == NULL)
		return;
	inorder(root->left);
	printf("%c ", root->Data);
	
	inorder(root->right);

}
void Posorder(Tree* root)//后序
{
	if (root == NULL)
		return;
	Posorder(root->left);
	Posorder(root->right);
	printf("%c ", root->Data);
}
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总结

树的应用也很广泛，比如，你电脑上的文件夹就是树的结构，或者在查找中的效率也是非常高的！