链式二叉树详解

前言：链式二叉树的操作在我看来是一个很难掌握的东西，有些题真的是做不来，甚至是一点思路都没有，真的让人感到打击，这还是归咎于自己知识掌握不牢固，递归处理得不好，而树的结构天然地适合递归的处理方式，不用递归要想处理就更难了，因此学好二叉树的简单递归，在面对更难的题的时候，才能游刃有余，让我们一起学习吧！！！

目录

一、什么是链式二叉树 

二、链式二叉树遍历

1.先序遍历

2.中序遍历

 2.后续序遍历

三、链式二叉树结点个数

四、链式二叉树叶子结点个数

 五、链式二叉树的高度

  六、链式二叉树第k层节点个数

   七、链式二叉树查找值为x的结点

八、总结

---

一、什么是链式二叉树 

链式二叉树是一种常见的数据结构，它由多个节点组成，每个节点可以有最多两个子节点。 

树的结构无外乎以下五种

 我们给他的两个子节点分别取名为左节点和右节点，再加上节点本身所存下的值，因此我们可以写出如下的结构体

typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
	BTDataType _data;
	BinaryTreeNode* _left;
	BinaryTreeNode* _right;
	BinaryTreeNode(BTDataType data = 0, 
                   BinaryTreeNode* left = nullptr, 
                   BinaryTreeNode* right = nullptr)
		:_data(data)
		,_left(left)
		,_right(right)
	{}
}BTNode;

这里我们使用了C++的构造函数，并给上了默认的缺省值，想创造一个节点，new一个就好了。我们选择的讲法和其他的数据结构不一样，比如顺序表和链表亦或是栈和队列，我们都是讲解了他的增删改查，但是一个普通的链式二叉树不一样，他存在的本身其实意义并不大（因为结构的复杂且无序），也不需要增删改操作，我们要做的是初步了解他的结构，并熟悉简单的二叉树递归即可。

二、链式二叉树遍历

首先我们来看看二叉树的遍历（Traversal）：遍历是指按照一定的顺序访问树中的所有节点。常见的遍历方式包括前序遍历、中序遍历和后序遍历。

1.先序遍历

先序遍历基本思想是从树的根节点开始，先访问当前节点，然后依次遍历左子节点和右子节点。以下是详细的先序遍历过程以及一个示例：

先new一些节点，并把他们连接起来

	BTNode* root1 = new BTNode(1);
	BTNode* root2 = new BTNode(2);
	BTNode* root3 = new BTNode(3);
	BTNode* root4 = new BTNode(4);
	BTNode* root5 = new BTNode(5);
	BTNode* root6 = new BTNode(6);
	root1->_left = root2;
	root1->_right = root4;
	root2->_left = root3;
	root4->_left = root5;
	root4->_right = root6;

我们的构造节点以及链接关系如下图所示 

我们的访问顺序从一开始，一步一步走，先走左，在左右，如果打印空节点，我们便走出了下面的轨迹

 而使用代码去实现也是非常简单的

void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		cout << "NULL ";
		return;
	}
	cout << root->_data << " ";
	BinaryTreePrevOrder(root->_left);
	BinaryTreePrevOrder(root->_right);
}

root 不为空便打印这个值存放的数据，一般情况下是可以不打印空的，但是我们这里打印了NULL应该会更容易理解一些。

下面附上执行结果。

先序遍历我们掌握后，中序遍历和后序遍历也是小菜一碟 ，甚至代码都不需要修改，他们唯一的区别就是打印的位置。

2.中序遍历

中序遍历便是将打印放在左子树遍历后面

void BinaryTreeInOrder(BTNode* root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		cout << "NULL ";
		return;
	}
	BinaryTreePrevOrder(root->_left);
	cout << root->_data << " ";
	BinaryTreePrevOrder(root->_right);
}

 2.后续序遍历

后续遍历便是将打印放在左子树和右子树遍历后面

void BinaryTreePostOrder(BTNode* root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		cout << "NULL ";
		return;
	}
	BinaryTreePrevOrder(root->_left);
	BinaryTreePrevOrder(root->_right);
	cout << root->_data << " ";
}

三、链式二叉树结点个数

我们求二叉树结点的个数，依旧是使用遍历。首先我们要检查当前节点是否为空，如果为空，则返回 0，表示没有节点。如果当前节点不为空，则递归地计算左子树和右子树的节点个数，然后将它们相加，并加上当前节点自身，得到整棵树的节点个数。

int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{
	if (root == nullptr)
		return 0;
	return BinaryTreeSize(root->_left) + 1 + BinaryTreeSize(root->_right);
}

这里使用的思想和遍历非常像，区别就是遍历是打印，找结点的个数是+1而已。

四、链式二叉树叶子结点个数

这个跟上面的求二叉树结点个数也很像，区别在于如果root节点左子树和右子树都为空，就返回1，再递归一下，这是归结于链式二叉树的特性，几乎每一题都需要采用递归思想，如果能深入掌握递归思想，二叉树的题也就迎刃而解了。

int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{
	if (root == nullptr)
		return 0;
	if (root->_left == nullptr && root->_right == nullptr)
		return 1;
	return BinaryTreeLeafSize(root->_left) + BinaryTreeLeafSize(root->_right);
}

 五、链式二叉树的高度

我们定义了左边的高和右边的高，谁高谁就+1。

int BinaryTreeHeight(BTNode* root)
{
	if (root == nullptr)
		return 0;
 
	int leftHeight = BinaryTreeHeight(root->_left);
	int rightHeight = BinaryTreeHeight(root->_right);
	return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}

我认为这里是有点不好理解的，我们遍历下去，遇到空返回0，于是结点3 的leftHeight和rightHeight都为0，然后会执行   return代码：   0>0  ？ 0+1:0+1;   很明显结果是后面的语句，也就是rightHeight+1； 注意这里虽然是rightHeight+1，但是返回到上面接受它的是leftHeight，这里会比较容易混淆。

返回代码切记不要像下面这样写，虽然是正确的，但是它的时间复杂度会成指数倍上涨，他所递归的次数远远不止一倍而已。

	return BinaryTreeHeight(root->_left) > BinaryTreeHeight(root->_right) ? 
		   BinaryTreeHeight(root->_left) : BinaryTreeHeight(root->_right);

  六、链式二叉树第k层节点个数

int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{
    assert(k > 0);
	if (root == nullptr)
		return 0;
	if (k == 1)
		return 1;
	return BinaryTreeLevelKSize(root->_left, k - 1) + 
           BinaryTreeLevelKSize(root->_right, k - 1);
}

 这里的k就是代表了层数，每一次递归k就要减去1，当k==1的时候就代表了这一层，于是我们返回1。

   七、链式二叉树查找值为x的结点

BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{
	if (root == nullptr)
		return 0;
	if (root->_data == x)
	{
		return root;
	}
	BTNode* cur = BinaryTreeFind(root->_left, x);
	if (cur == nullptr)
		cur = BinaryTreeFind(root->_right, x);
	return cur;
}

这里的返回值是BTNode*类型的，需要一个变量去接受他，不然我们找到后，递归回来的值会被扔掉后继续递归（因为你递归的层次很深，返回并不会直接结束整个函数，而是结束递归的这一个函数），得到的值会永远为空。

我们找到了值为x的结点，便会return回来，并用cur去接受它，此时cur不为空，便又return了，后续便会一直return知道结束本函数。

八、总结

二叉树还有一些操作，但上面这一些是较为重要的，学好了普通的链式二叉树，才能让我们更为轻松的学习之后的AVLTree，红黑树等等。大家一起加油吧