动态规划--钢条切割的C++实现_钢条切割 有费用!!!!!!! 动规 c++

在《算法导论》动态规划那章，讲述了一个应用动态规划的例子--钢条切割。

钢条切割的问题是这样的：给定一段长度为n英寸的钢条和一个价格表(i=1,2,...,10),求切割钢条方案，使得销售收益最大。

我们可以采用一种简单的递归求解方法：我们将钢条从左边切割下长度为i的一段，只对右边剩下的 长度为n-i的一段继续进行切割（递归求解），对左边的一段则不再进行切割。用公式可以表示为：

方法一：带备忘的自顶向下法。

此方法按自然的递归形式编写过程，但过程会保存每个子问题的解，这里我们保存在数组r中。当需要一个子问题的解时，过程首先检查是否已经保存过此解。如果是，则直接返回保存的值，从而节省计算时间；否则，按通常形式计算这个子问题。我们称这个递归过程是带备忘的（memoized），因为它“记住”了之前已经计算的结果。代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;
 
//对应于长度为1,2...10的钢条价格表
int p[10]={1,5,8,9,10,17,17,20,24,30};
 
//返回两个数的较大值
int max(int a,int b)
{
	return (a>b)?a:b;
}
 
/*首先检查所需值是否已知，如果是，则直接返回保存的值。
否则，用通常方法计算所需值q,然后将此值存入r[n]。值得注意的
是，笔者在此处没有对钢条的长度n进行限制，所以n可能大于10，
于是增加了自己的判断，若n大于10，则计算n-10的子序列*/
int MemoizedCutRodAux(int p[],int n,int r[])
{	
	if(r[n]>=0)
		return r[n];
	int q;
	if(n==0)
		q=0;
	else
	{
		q=-1;
		for(int i=0;i<n;i++)
		{
			if(i<10)
				q=max(q,p[i]+MemoizedCutRodAux(p,n-1-i,r));
			else
				q=max(q,r[10]+MemoizedCutRodAux(p,n-1-10,r));
		}
	}
	r[n]=q;
	return q;
}
 
int main()
{
	int n;
	cout<<"请输入钢条的长度：";
	cin>>n;
	//将辅助数组的r[0..n]元素均初始化为-1
	int *r=new int[n+1];
	for(int i=0;i<=n;i++)
	{
		r[i]=-1;
	}
	int sum=MemoizedCutRodAux(p,n,r);
	cout<<"最大收益为："<<sum<<endl;
	return 0;
}

运行结果：

方法二：自底向上法

这种方法一般需要恰当定义子问题规模的概念，使得任何子问题的求解都只依赖于“更小的”子问题的求解。因而我们可以将子问题按规模排序，按由小至大的顺序进行求解。当求解某个子问题时，它所依赖的那些更小的子问题都已求解完毕，结果已经保存。每个子问题只需求解一次，当我们求解它时，它的所有前提子问题都已经求解完成。

#include<iostream>
using namespace std;
 
//对应于长度为1,2...10的钢条价格表
int p[10]={1,5,8,9,10,17,17,20,24,30};
 
//返回两个数的较大值
int max(int a,int b)
{
	return (a>b)?a:b;
}
 
/*首先创建一个新数组r来保存子问题的解，然后将r[0]初始化为0，因为长度为0的钢条没有收益
接着对j=1,2,...,n按升序求解每个规模为j的子问题。将规模为j的子问题的解存入r[j]。最后返回r[n],即最优解*/
int BottomUpCutRod(int p[],int n)
{
	int *r=new int[n+1];
	r[0]=0;
	for(int j=1;j<=n;j++)
	{
		int q=-1;
		for(int i=0;i<=j;i++)
		{
			if(i<10)
				q=max(q,p[i]+r[j-i-1]);
			else
				q=max(q,r[10]+r[j-10-1]);
		}
		r[j]=q;
	}
	return r[n];
}
 
int main()
{
	int n;
	cout<<"请输入钢条的长度：";
	cin>>n;
	int sum=BottomUpCutRod(p,n);
	cout<<"最大收益为："<<sum<<endl;
	return 0;
}

运行结果为：