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动态规划系列：5.股票问题_股票交易 动态规划

作者：weixin_40725706 | 2024-06-10 10:57:49

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股票交易 动态规划

1.买卖股票的最佳时机

给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。

你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

示例 1：

  1. 输入：[7,1,5,3,6,4]
  2. 输出：5
  3. 解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
  4.      注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。

示例 2：

  1. 输入：prices = [7,6,4,3,1]
  2. 输出：0
  3. 解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

方法一：暴力

  1. class Solution {
  2. public:
  3. 	int maxProfit(vector<int>& prices) {
  4. 		if (prices.size()<= 1) return 0;
  5. 		int result = 0;
  6. 		for (int i = 0; i < prices.size(); i++) {
  7. 			int tmp = 0;
  8. 			for (int j = i + 1; j < prices.size(); j++) {
  9. 				tmp = max(tmp,prices[j]-prices[i]);
  10. 			}
  11. 			result = max(tmp, result);
  12. 		}
  13. 		return result;
  14. 	}
  15. };

超时

方法二

采用一个数组记录每天之前的最小值(dp)，然后求最大值

  1. class Solution {
  2. public:
  3. 	int maxProfit(vector<int>& prices) {
  4. 		//dp[i]代表prices：0到i个元素里的最小值
  5. 		vector<int> dp(prices.size());
  6. 		dp[0] = prices[0];
  7. 		for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
  8. 			dp[i] = min(dp[i - 1], prices[i]);
  9. 		}
  10. 		//求结果
  11. 		int result = 0;
  12. 		for (int i = 0; i < prices.size(); i++) {
  13. 			result = max(result, prices[i] - dp[i]);
  14. 		}
  15. 		return result;
  16. 	}
  17. };

代码简化

  1. class Solution {
  2. public:
  3. 	int maxProfit(vector<int>& prices) {
  4. 		if (prices.size() == 0) return 0;
  5. 		int min_price = prices[0];
  6. 		int max_profit = 0;
  7. 		for (int i = 0; i < prices.size(); i++) {
  8. 			min_price = min(prices[i], min_price);
  9. 			max_profit = max(prices[i] - min_price,max_profit);
  10. 		}
  11. 		return max_profit;
  12. 	}
  13. };

方法三：代码随想录里的动态规划方法

dp(i,0)代表第i天不持有股票时的收益

dp(i,1)代表第i天持有股票时的收益

当第i天手里没有股票时存在下面两种情况：

  1. 第i-1天手里持有股票，第i天卖了，则dp(i,0)=dp(i-1,1)+prices[i]

  1. 第i-1天手里没有股票，第i天保持，则dp(i,0)=dp(i-1,0)

当第i天手里持有股票时存在以下两种情况：

  1. 第i-1天手里持有股票，则dp(i,1)=dp(i-1,1)

  1. 第i-1天手里没有股票，第i天买进，则dp(i,1)=-prices[i]

代码：

  1. class Solution {
  2. public:
  3. 	int maxProfit(vector<int>& prices) {
  4. 		if (prices.size() <=1) return 0;
  5. 		vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(2, 0));
  6. 		//dp[i][0]代表第i天不持有股票的最大收益，dp[i][1]代表第i天持有股票的最大收益
  7. 		dp[0][0] = 0;
  8. 		dp[0][1] = -prices[0];
  9. 		for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
  10. 			//不持有股票
  11. 			dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
  12. 			//持有股票
  13. 			dp[i][1] = max(dp[i - 1][1],  - prices[i]);
  14. 		}
  15. 		return max(dp[prices.size() - 1][0], dp[prices.size() - 1][1]);
  16. 	}
  17. };

2.买卖股票的最佳时机II

给你一个整数数组 prices ，其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。

在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候 最多 只能持有 一股 股票。你也可以先购买，然后在 同一天 出售。

返回 你能获得的 最大 利润 。

示例 1：

  1. 输入：prices = [7,1,5,3,6,4]
  2. 输出：7
  3. 解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4 。
  4.      随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6 - 3 = 3 。
  5.      总利润为 4 + 3 = 7 。

示例 2：

  1. 输入：prices = [1,2,3,4,5]
  2. 输出：4
  3. 解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4 。
  4.      总利润为 4 。

示例 3：

  1. 输入：prices = [7,6,4,3,1]
  2. 输出：0
  3. 解释：在这种情况下, 交易无法获得正利润，所以不参与交易可以获得最大利润，最大利润为 0 。

分析

与上一题的区别在于，上一题只能买一次并且只能卖一次，而本题可以任意买/麦

dp(i,0)代表第i天不持有股票时的收益

dp(i,1)代表第i天持有股票时的收益

当第i天手里没有股票时存在下面两种情况：

  1. 第i-1天手里持有股票，第i天卖了，则dp(i,0)=dp(i-1,1)+prices[i]

  1. 第i-1天手里没有股票，第i天保持，则dp(i,0)=dp(i-1,0)

当第i天手里持有股票时存在以下两种情况：

  1. 第i-1天手里持有股票，则dp(i,1)=dp(i-1,1)

  1. 第i-1天手里没有股票，第i天买进，则dp(i,1)=dp(i-1,0)-prices[i]

  1. class Solution {
  2. public:
  3. 	int maxProfit(vector<int>& prices) {
  4. 		if (prices.size() <=1) return 0;
  5. 		vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(2, 0));
  6. 		//dp[i][0]代表第i天不持有股票的最大收益，dp[i][1]代表第i天持有股票的最大收益
  7. 		dp[0][0] = 0;
  8. 		dp[0][1] = -prices[0];
  9. 		for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
  10. 			//不持有股票
  11. 			dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
  12. 			//持有股票
  13. 			dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
  14. 		}
  15. 		return max(dp[prices.size() - 1][0], dp[prices.size() - 1][1]);
  16. 	}
  17. };

3.买卖股票的最佳时机 III

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

  1. 输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
  2. 输出：6
  3. 解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
  4.      随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2：

  1. 输入：prices = [1,2,3,4,5]
  2. 输出：4
  3. 解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。   
  4.      注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。   
  5.      因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3：

  1. 输入：prices = [7,6,4,3,1] 
  2. 输出：0 
  3. 解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

示例 4：

  1. 输入：prices = [1]
  2. 输出：0

分析

股票1，限制交易一次，股票2不限制交易次数，本题股票3限制交易两次

每天有四个状态：

第一次持有股票，用0表示

第一次不持有股票，用1表示

第二次持有股票，用2表示

第二次不持有股票，用3表示

第i天第一次持有股票：

dp(i,0)=max{dp(i-1,0), dp(i-1,1)-price[i]}

第i天第一次不持有股票：

dp(i,1)=max{dp(i-1,1), dp(i-1,0)+price[i]}

第i天第二次持有：

dp(i,2)=max{dp(i-1,2), dp(i-1,1)-price[i]}

第i天第二次不持有：

dp(i,3)=max{dp(i-1,3), dp(i-1,2)+prices[i]}

  1. class Solution {
  2. public:
  3. 	int maxProfit(vector<int>& prices) {
  4. 		if (prices.size() <= 1) return 0;
  5. 		vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(4, 0));
  6. 		//0,1,2,3分别表示第i天：第一次持有，第一次不持有，第二次持有，第二次不持有
  7. 		dp[0][0] = -prices[0];
  8. 		dp[0][2] = -prices[0];
  9. 		for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
  10. 			dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
  11. 			dp[i][1] = max( dp[i - 1][1],dp[i - 1][0] + prices[i] );
  12. 			dp[i][2] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] - prices[i]);
  13. 			dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] + prices[i]);
  14. 		}
  15. 		return max({ dp[prices.size() - 1][0],dp[prices.size() - 1][1],dp[prices.size() - 1][2],dp[prices.size() - 1][3] });
  16. 	}
  17. };

4.买卖股票的最佳时机 IV

给定一个整数数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1：

  1. 输入：k = 2, prices = [2,4,1]
  2. 输出：2
  3. 解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。

示例 2：

  1. 输入：k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3]
  2. 输出：7
  3. 解释：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。
  4.      随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。

分析

受不了了，前面股票3两次交易设计了4个状态，这题直接2k个状态

股票1是求一次交易能够获得的最大利润

股票2是求任意次交易获得的最大利润

股票3是求两次交易能获得的最大利润

股票4是求指定交易次数下能获得的最大利润

  1. class Solution {
  2. public:
  3. 	int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
  4. 		if (prices.size() <= 1) return 0;
  5. 		vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(2 * k+1, 0));
  6. 		//0第一次不持有。1第一次持有，2第二次不持有，，，，奇数持有
  7. 		for (int i = 0; i < 2 * k; i++) {
  8. 			if ((i+1)% 2 == 0) dp[0][i] = -prices[0];
  9. 		}
  10. 		for (int i = 0; i < prices.size(); i++) dp[i][0] = 0;
  11. 		for (int j = 1; j < prices.size(); j++) {
  12. 			for (int state = 1; state <= 2 * k; state++) {
  13. 				if (state % 2 == 0) dp[j][state] = max(dp[j - 1][state], dp[j - 1][state - 1] + prices[j]);
  14. 				else dp[j][state] = max(dp[j - 1][state], dp[j - 1][state - 1] - prices[j]);
  15. 			}
  16. 		}
  17. 		return dp[prices.size() - 1][2*k];
  18. 	}
  19. };

5.最佳买卖股票时机含冷冻期

给定一个整数数组prices，其中第 prices[i] 表示第 *i* 天的股票价格 。

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

  • 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

  1. 输入: prices = [1,2,3,0,2]
  2. 输出: 3 
  3. 解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

示例 2:

  1. 输入: prices = [1]
  2. 输出: 0

分析

这题和前面的股票2：不限制交易次数，相似，区别在于此题规定了卖出的第二天不能买入股票

dp(i,0)表示第i天不持有股票，dp(i,1)表示第i天持有股票

如果第i天不持有股票，则： dp(i,0)=max{dp(i-1,0), dp(i-1,1)+prices[i]}

如果第i天持有股票，则： (与股票2的区别在这里)

  1. 如果第i-1天持有，dp(i,1)=dp(i-1,1)

  1. 如果第i-1天不持有:

(1). 如果第i-2天不持有，dp(i,1)=dp(i-2, 0)-prices[i]

(2).如果第i-2天持有，因为冷冻期的存在第i天不可能持有 

  1. class Solution {
  2. public:
  3. 	int maxProfit(vector<int>& prices) {
  4. 		if (prices.size() <= 1) return 0;
  5. 		//dp(i,0)表示第i天不持有股票，dp(i,1)表示第i天持有股票
  6. 		vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(2, 0));
  7. 		dp[0][0] = 0;
  8. 		dp[0][1] = -prices[0];
  9. 		dp[1][0]= max(dp[0][0], dp[0][1] + prices[1]);
  10. 		dp[1][1] = max(dp[0][1], dp[0][0] - prices[1]);
  11. 		for (int i = 2; i < prices.size(); i++) {
  12. 			dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
  13. 			dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 2][0] - prices[i]);
  14. 		}
  15. 		return dp[prices.size() - 1][0];
  16. 	}
  17. };

6.买卖股票的最佳时机含手续费

给定一个整数数组 prices，其中 prices[i]表示第 i 天的股票价格 ；整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

示例 1：

  1. 输入：prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
  2. 输出：8
  3. 解释：能够达到的最大利润:  
  4. 在此处买入 prices[0] = 1
  5. 在此处卖出 prices[3] = 8
  6. 在此处买入 prices[4] = 4
  7. 在此处卖出 prices[5] = 9
  8. 总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8

示例 2：

  1. 输入：prices = [1,3,7,5,10,3], fee = 3
  2. 输出：6

分析

这题是股票2无限制交易次数的扩展，在股票2的基础上加入了手续费，一笔交易只需要支付手续费，我们预设在卖出股票时支付手续费

依然，dp(i,0)表示第i天不持有股票时所得最多现金，dp(i,1)表示第i天持有股票所能获得的最多现金

当第i天不持有股票时，

dp(i,0)=max{dp(i-1,0), dp(i-1)+prices[i]-fee}

当第i天持有股票时

dp(i,1)=max{dp(i-1,1), dp(i-1,0)-prices[i]}

代码

  1. class Solution {
  2. public:
  3. 	int maxProfit(vector<int>& prices, int fee) {
  4. 		if (prices.size() <= 1) return 0;
  5. 		vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(2, 0));
  6. 		//0代表不持有，1代表持有
  7. 		dp[0][0] = 0;
  8. 		dp[0][1] = -prices[0];
  9. 		for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
  10. 			dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i] - fee);
  11. 			dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
  12. 		}
  13. 		return dp[prices.size() - 1][0];
  14. 	}
  15. };

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