基于熵权法的topsis分析（包含matlab源码以及实例）_熵权topsis法

            

目录

一、算法简述

         1.topsis分析法

         2.熵权法

         3.两种算法的结合

二、算法步骤

         1.判断指标类型

         2.数据正向化

         3.正向化矩阵标准化

         4.计算概率矩阵P

         5.计算各个指标的信息熵

         6.计算信息效用值

         7.计算熵权

         8.计算最优距离和最劣距离

         9.计算未归一化得分以及归一化得分

三、MATLAB代码实现

        1.主函数topsis.m

        2.正向化函数 Positivization.m

        3.熵权法函数 Entropy_Method.m

        4.ln函数 mylog.m

          写在前面

                 本篇不介绍熵权法以及topsis分析法的详细原理 若想了解请移步其他博客！！！

                恰恰相反，本篇为懒人福利，适用于数学建模等需要快速解决问题的赛事。

一、算法简述

       1.topsis分析法

            topsis算法是一种常见的综合评价办法，适用于有多个指标时的方案选择问题，如下图所示

            ps：以下数据为自行创造 仅用于讲解

            通过topsis分析法我们可以通过优劣分析，为五个方案分别赋予一个评分，显然评分越高，综合考量下来优势越大。

        2.熵权法

                我们已经知道topsis分析法可以给每个方案一个评分，但这个评分是在各个指标所占权重相同的前提下来算的，但我们遇到的问题大部分肯定有的指标重要，有的不那么重要，我们又不能去主观给他赋权重，这个问题应该怎么解决？没错，熵权法可以！

                熵权法是一种客观赋权方法，通过计算指标的信息熵，根据相对变化程度对整体的影响来决定指标权重。（不懂不要紧 会用就行）

        3.两种算法的结合

                了解了两种算法的基本原理，我们很容易想到，可以通过熵权法算出各指标的权重，进而通过topsis分析法进行评分，就能得到可信度较高的结果

二、算法步骤

        1.判断指标类型

                topsis模型一般是在所有指标均为极大型指标（数据越大越好）的基础上进行运算的，因此要判断各个指标都是什么类型，方便后面进行数据正向化。

                一般的常见类型有

                极大型（数据越大越好） 比如上方表格中的可采矿量

                极小型（数据越小越好）  比如上方表格中的基建投资

                中间型（数据稳定在某个固定的值最好） 比如上方表格里的ph最好保持在4.3

                区间型（数据在某个区间内最好）比如上方表格中的人员最好在[30,40]之间

         2.数据正向化

                极小型数据（PS：当数据不全为正数时 只能使用第二个公式）

                        

                  上面表格的基建投资为极小型数据 我们采用第二个公式来正向化

                中间型数据

                首先应该输入一个中间最优值再进行正向化

                        

                上面表格的土地PH值为中间型数据 我们的是4.3 

                区间型数据

                首先应该输入区间下限a和区间上限b再进行正向化

                          $M=max(a-min(x_{i}),max(x_{i})-b)$

$x_{i}=\left\{\begin{matrix} 1-\frac{a-x_{i}}{M} & x_{i}<a\\ 1& a\leqslant x_{i}\leqslant b\\ 1-\frac{x_{i}-b}{M} & x_{i}>b \end{matrix}\right.$                

                 上面表格的人员指标为区间型数据 我们的下限a是30 上限b是40  M是5

                正向化结束的矩阵称为正向化矩阵。如下表

         3.正向化矩阵标准化

                正向矩阵标准化是为了消除不同量纲的影响。

                        

                这里得到的标准化矩阵要求所有数据必须全部大于等于0，如果有负数，需要按照以下方式重新进行标准化。

                

            PS:4-7步是熵权法确定指标权重的步骤 如果想实现各指标权重相同  默认是1/m

         4.计算概率矩阵P

                         $p_{ij}=\frac{z_{ij}}{\sum_{i=1}^{n} z_{ij}}$        

         5.计算各个指标的信息熵

                        $e_{j}=-\frac{1}{ln\left ( n \right )}*\sum_{i=1}^{n}\left ( p_{ij}ln\left (p_{ij} \right ) \right )$

                PS：由于概率矩阵中可能存在数值为0，但ln(0)为负无穷 我们这里将ln(0)设为0

         6.计算信息效用值

                        $d_{j}=1-e_{j}$

         7.计算熵权

                        $w_{j}=\frac{d_{j}}{\sum_{j=1}^{m}d_{j}}$

        8.计算最优距离和最劣距离

                定义最大值$Z^{+}=(max(z_{11},z_{21},...,z_{n1}),max(z_{12},z_{22},...,z_{n2}),...,max(z_{1m},z_{2m},...,z_{nm}))$

                定义最小值

$Z^{-}=(min(z_{11},z_{21},...,z_{n1}),min(z_{12},z_{22},...,z_{n2}),...,min(z_{1m},z_{2m},...,z_{nm}))$   

                定义第i个（i=1,2, ... ,n）评价对象与最大值的距离

                        $D_{i}^{+}=\sqrt{\sum_{j=1}^{m}W_{j}*\left ( Z_{j}^{+}-z_{ij} \right )^{2}}$

                 定义第i个（i=1,2, ... ,n）评价对象与最小值的距离

                        $D_{i}^{-}=\sqrt{\sum_{j=1}^{m}W_{j}*\left ( Z_{j}^{-}-z_{ij} \right )^{2}}$

         9.计算未归一化得分以及归一化得分

                未归一化得分

                        $S_{i}=\frac{D_{i}^{-}}{D_{i}^{+}+D_{i}^{-}}$

                归一化得分（分数相加等于1）

                        $\widetilde{S}=\frac{S_{j}}{\sum_{i=1}^{m}S_{j}}$

                        由最终的$\widetilde{S}$可知，五个方案的的排名为5，1，4，2，3

三、MATLAB代码实现

        代码部分共有四个.m文件 一个主文件 三个函数

1.主函数topsis.m

[n,m] = size(X);
disp(['共有' num2str(n) '个评价对象 共有' num2str(m) '个评价指标'])
judge=input(['这' num2str(m) '个指标是否需要正向化处理，需要请输入1 不需要请输入0：  ']);
if judge==1
    Position=input('请输入需要正向化处理的列 比如2，3，6列需要处理 则输入[2,3,6]：  ');
    disp('请输入这些列分别是什么指标类型（1：极小型 2：中间型 3：区间型）')
    Type=input('比如 2 3 6列分别是极小型 区间型 中间型 则输入[1,3,2]：  ');
    for i=1:size(Position,2)
        X(:,Position(i))=Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i));
    end
    disp('正向化后的矩阵为 X=');
    disp(X);
end
%标准化
Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1);
disp('标准化矩阵 Z = ')
disp(Z)
 
 
 
disp("请输入是否需要增加权重向量，需要输入1，不需要输入0")
Judge = input('请输入是否需要增加权重： ');
if Judge == 1
    if sum(sum(Z<0))>0
        disp('标准化矩阵中存在负数 正在重新标准化')
        for j=1:m
            minn=min(Z(:,j));
            maxx=max(Z(:,j));
            for i=1:n
                Z(i,j)=(Z(i,j)-minn)/(maxx-minn)
            end
        end
        disp('标准化完成 矩阵Z=  ');
        disp(Z);
    end
    W = Entropy_Method(Z);
    disp('熵权法确定的权重为：');
    disp(W);        
else
    W = ones(1,m) ./ m ; %如果不需要加权重就默认权重都相同，即都为1/m
end
 
 
 
D_P = sum([W .* (Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5;%最优距离
D_N = sum([W .* (Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5;%最劣距离
S = D_N ./ (D_P+D_N);%相对接近度（可用来当得分）   
disp('最后的得分为：')
stand_S = S / sum(S)%得分归一化 最后各方案得分相加为1
[sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend');
disp('按得分从高到底排列方案 分别为:  ');
disp(index);%方案排名
 
 

2.正向化函数 Positivization.m

%正向化 Positivization 三个输入变量分别为目前处理的列向量 该列的指标类型 目前处理的是第几列
%输出变量为正向化后的列向量
function [posit_x]=Positivization(x,type,i)
    if type==1 %极小型
        posit_x=max(x)-x;
        %posit_x=1./x 如果该列数据全部大于0 也可以这样正向化
    elseif type==2%中间型
        best=input('请输入最佳的值:  ');
        M=max(abs(x-best));
        posit_x=1-abs(x-best)/M;
    elseif type==3%区间型
        a=input('请输入区间下限:  ');
        b=input('请输入区间上限:  ');
        MM=max(a-min(x),max(x)-b);
        posit_x = zeros(size(x,1),1);
        for i=1:size(x,1)
            if x(i)<a
                posit_x(i)=1-(a-x(i))/MM;
            elseif x(i)>b
                posit_x(i)=1-(x(i)-b)/MM;
            else
                posit_x(i)=1;
            end
        end
    else 
        disp('请正确输入指标类型')
    end
end

3.熵权法函数 Entropy_Method.m

%计算权重
function [W] = Entropy_Method(Z)
    [n,m]=size(Z);
    d=zeros(1,m);
    for i=1:m
        x = Z(:,i);
        p = x./sum(x);%概率矩阵
        e = -sum(p .* mylog(p)) / mylog(n);%信息熵
        d(i)=1-e;%信息效用值
    end
    W=d./sum(d);%熵权
end

 4.ln函数 mylog.m

function [lnp] =  mylog(p)
n = length(p);   % 向量的长度
lnp = zeros(n,1);   % 初始化最后的结果
    for i = 1:n   % 开始循环
        if p(i) == 0   % 如果第i个元素为0
            lnp(i) = 0;  % 那么返回的第i个结果也为0
        else
            lnp(i) = log(p(i));  
        end
    end
end

注：本篇文章为自己系统了解后写下，不保证不会出现问题。大家如果对文章存在困惑或者质疑 ，欢迎在评论区留言。

参考链接

熵值法与TOPSIS法以及两者结合 作者：卖山楂啦prss

数学建模之熵权法——基于Topsis模型 作者：我本无忧

基于熵权法的Topsis模型（清风数学建模课后笔记） 作者：weixin_57449924