数字图像处理学习笔记8：频率域滤波4（拉普拉斯算子）_频率域的拉普拉斯算子

一、频率域的拉普拉斯算子

1.原理

（1）拉普拉斯在频率域的滤波器可以表示为：
$$H(u,v)=-4{\pi }^2{D}^2(u,v)$$
（2）
$${\nabla }^{2}f(x,y)=F^{-1}[H(u,v)\ast F(u,v)]$$

（3）
$$g(x,y)=f(x,y)-{\nabla }^{2}f(x,y)=F^{-1}[(1-H(u,v))\ast F(u,v)]$$

2.编程步骤

若直接使用上述公式进行编程，会导致图像大部分像素为白色，因为在计算${\nabla }^{2}f(x,y)$时，会引入已标定系数的傅里叶变换，这些系数比f的最大值要大几个量级。因此具体编程步骤为：

（1）将原图f(x,y)的值变为[0,1]范围内后进行傅里叶变换得到F(u,v)；
（2）计算F(u,v)的最大值，计算${\nabla }^{2}F(u,v)$后除以最大值，使${\nabla }^{2}F(u,v)$在[-1,1]的范围内；
（3）利用原理中第三式计算增强图像。

二、MATLAB代码

1.代码

代码如下（示例）：

im1=imread('1.jpg');
im1=rgb2gray(im1);
figure
imshow(im1)


img_f=fftshift(fft2(im2double(im1)));  %傅里叶变换得到频谱，im2double将原图的值域变为[0,1]
[m,n]=size(img_f);
O_x=fix(m/2);  
O_y=fix(n/2);  %获取圆心坐标
a=max(max(img_f));   %求img_f得最大值
img=zeros(m,n);  %提前定义滤波后的频谱，提高运行速度
for j=1:n
    for i=1:m
        d=sqrt((i-O_x)^2+(j-O_y)^2);    %计算两点之间的距离
       
        H(i,j)=-4*pi^2*d^2/a;   %拉普拉斯滤波器，除以img_f的最大值a是为了将H(i,j)标定到[-1,1]的范围内
       
        img(i,j)=(1-H(i,j))*img_f(i,j); 
    end
end
img=ifftshift(img);            %傅里叶反变换
img=im2uint8(real(ifft2(img)));   %取实数部分
figure
imshow(img)
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2.结果